4. Lokale Änderungsrate
Oft ist man bei der Untersuchung einer Bestandsentwicklung nicht an einer mittleren Änderungsrate in einem Intervall interessiert. Wenn der Bestand z.B. eine Populationsgröße beschreibt, dann will man eventuell nicht wissen, wie stark sich die Population in einem vorgegebenen Zeitraum verändert. Man möchte eventuell eine Aussage über die aktuelle Wachstumsgeschwindigkeit der Population treffen. Für solche punktuellen Aussagen nutzt man die lokale Änderungsgeschwindigkeit – die auch lokalen Änderungsrate genannt wird.
Aufgabe 1
Im Applet (GeoGebra Datei) unter der Aufgabe ist eine Bestandsentwicklung vom Punkt P auf den Punkt Q dargestellt. Bestimme die mittlere Änderungsrate im betrachteten Intervall und begründe, warum dies noch keine gute Abschätzung der momentanen Änderungsrate an der Stelle liefert. (Siehe 1.Frage und 2.Frage)
1.Frage
Die mittlere Änderungsrate der Funktion f im Intervall beträgt...
2.Frage
Die mittlere Änderungsrate liefert keine gute Abschätzung, da...
Aufgabe 2
Verschiebe nun den Punkt Q im untenstehenden Applet, so dass die lokale Änderungsrate an der Stelle besser abgeschätzt werden kann und vergleiche diesen Wert mit der mittleren Änderungsrate oben.
3. Frage
Die momentane Änderungsrate der Funktion f an der Stelle beträgt ungefähr...
4. Frage
Nähert man den Wert x an den Wert , für den die momentane Änderungsrate bestimmt werden soll, an, so wird die "Steigungsgerade" (auch Sekante) immer mehr zu...
Aufgabe 3
Übertrage den folgenden Hefteintrag.
4.2 Differenzenquotient (mittlere Änderungsrate) und Differentialquotient (momentante Änderungsrate)
Hat der Punkt die Koordinaten und der Punkt die Koordinaten , so gilt für die mittlere Änderungsrate :
__________ _ Differenzenquotient (Sekantensteigung)
Für die momentane bzw. lokale Änderungsrate ergibt sich mit der Annäherung von also der Annäherung von folgende Formel (-Methode):
___________________________ Differentialquotient (Tangentensteigung)
Beziehungsweise:
Für die momentane bzw. lokale Änderungsrate ergibt sich mit der Annäherung von folgende Formel (-Methode):
_________________________ Differentialquotient (Tangentensteigung)
Existiert der Grenzwert von f an der Stelle , so bezeichnet man ihn als Ableitung von f an der Stelle . Die Gerade durch den Punkt mit der Steigung heißt Tangente an den Graphen in .