Циклоида
- Author:
- Куклин Сергей Александрович
c – производящая окружность, b – основная прямая.
Для получения циклоиды, в отличие от эвольвенты, необходимо перекатывать не прямую, а окружность.
Движение точки B идентично перекатыванию без скольжения окружности c по прямой b. След точки A принадлежащей окружности представляет собой циклоиду.
Можно остановить анимацию нажав кнопку паузы ▓ ▓ и управлять движением перемещая синюю точку B вручную.
Циклоидальный профиль используют в зубчатых передачах наряду с эвольвентным профилем зуба, особенно в часах и приборах.
Параметрически циклоида описывается уравнениями
x=r∙(t–sint); y=r∙(1–cost)
т.е. единичная циклоида (r=1) описывается уравнениями
x(t)=t–sint; y(t)=1–cost
Производные от этих функций
x’(t)=1–cost; y’(t)=sint
Обратите внимание, что производная по оси абсцисс равна ординате x’(t)=y.
Свойства циклоиды (Wikipedia)
1. Нормаль к циклоиде можно получить, соединив текущую точку A с точкой касания окружности и прямой (точкой C). Соединив текущую точку с точкой диаметрально противоположной к точке C получите касательную.
Для отображения нормали и касательной поставьте галочку "Нормаль и касательная".
2. Длина арки циклоиды равна 8r.
3. Площадь под каждой аркой циклоиды втрое больше, чем площадь порождающего круга (3πr²).
4. Если взять только часть циклоиды и повернуть на 180°, то получим кривую максимально быстрой горки (брахистохорна). Более того участники спуска приедут к финишу одновременно, независимо от того на какой высоте они начинают движение.
5. При больших размахах период колебаний свободного маятника зависит от амплитуды довольно сложным образом. Наиболее точные маятниковые часы можно создать, если должным образом менять длину маятника. Так как момент количества движения должен сохраняться, то уменьшение длины приводит к ускорению движения. Кривыми, ограничивающими движение должны быть перевернутые циклоиды.
Примечание. Траектория
движения грузика тоже называется эвольвентой, но эволютой здесь будет не
окружность, а циклоида. Можно строить эвольвенты, перекатывая прямую линию по
кривым любой формы, однако по умолчанию под эвольвентой понимают кривую построенную
на окружности.