Summe einer unendlichen Reihe
- Autor:
- Gottfried Kendl
Will man die Glieder der Folge (x1, x2, x3, x4, x5, ...) addieren, so ist das nur schrittweise möglich.
Die Werte
s1 = x1,
s2 = x1 + x2,
s3 = x1 + x2 + x3,
...
nennt man Partialsummen (Teilsummen).
Die Folge (s1, s2, s3, ... ) der Partialsummen nennt man eine unendliche Reihe.
Man verwendet dafür die Schreibweise x1 + x2 + x3 + ...
Beispiel 1
Die Reihe 4 + 2 + 1 + 1/2 + 1/4 + ... ist die Folge der Partialsummen
s1 = 4
s2 = 4 + 2 = 6
s3 = 4 + 2 + 1 = 7
s4 = 4 + 2 + 1 + 1/2 = 7 1/2
s5 = 4 + 2 + 1 + 1/2 + 1/4 = 7 3/4
...
Beispiel 2
Die Reihe 1 - 1 + 1 - 1 + 1 - 1 ... ist die Folge der Partialsummen
s1 = 1
s2 = 1 - 1 = 0
s3 = 1 - 1 + 1 = 1
s4 = 1 - 1 + 1 - 1 = 0
s5 = 1 - 1 + 1 - 1 + 1 = 1
...
Die Folge der Partialsummen in Beispiel 1
(4, 6, 7, 7 1/2, 7 3/4, ...) ist konvergent, ihr Grenzwert ist 8.
Man bezeichnet ihn als Summe der Reihe und schreibt
4 + 2 + 1 + 1/2 + 1/4 + ... = 8
Die Folge der Partialsummen in Beispiel 2
(1, 0, 1, 0, 1, 0, ...) ist divergent, sie hat keinen Grenzwert.
Die Reihe hat daher keine Summe.
Rechengesetze für algebraische Summen, wie zum Beispiel a - b + c = a - (b - c), können nicht ohne Einschränkung auf "unendliche Summen" verallgemeinert werden.
Die drei Lösungsvorschläge im Arbeitsblatt Unendlich viele Summanden 2 sind falsch. Die Reihe hat gar keine Summe, man kann sie daher durch noch so geschickte Umformungen nicht berechnen.