Formalização
Parte 1
Como se pode perceber nas questões propostas, tem-se com objetivo fazer com que o aluno chegue, de forma intuitiva, no valor do limite da função. Na questão a, através da fatoração o professor pode chegar ao tempo em que a bola leva para tocar o solo, fazendo:
ou Como é quando a bola sai do solo após o chute, temos que a resposta é dada por 8 segundos. Nesse momento, o professor pode abrir o aplicativo no GeoGebra para visualização da trajetória da função e também para mostrar o que acontece com a função quando o tempo se aproxima de 4 segundos.Aplicativo desenvolvido para formalização da parte 1 do problema
Para responder à questão b, o professor pode mostrar os valores que já estão nas tabelas construídas no GeoGebra, ou também através do controle deslizante “t”, onde movimenta o ponto M, que mostra automaticamente os valores para o tempo e altura da função, como está na Figura. Aqui, deve ser enfatizando que conforme o tempo se aproxima de 4 segundos, tanto com valores menores e próximos de 4, quanto para valores maiores e próximas de 4, a imagem aproxima-se de 12. Na formalização da questão c, o professor pode utilizar a estratégia ii descrita no item anterior: como obtemos as raízes na questão a, temos e , dada a simetria da parábola, o eixo de simetria terá abscissa:
Substituindo na função, obtemos a ordenada do vértice Ou seja, a altura máxima que a bola atinge é de 12 metros. Através da resolução das questões a, b e c, intuitivamente já pode se perceber que o valor do limite na questão d será 12. E, substituindo t por 4 no limite, realmente terá o valor de . .Parte 2
Na parte 1 da atividade, tínhamos a função definida para (ponto de interesse), mas quando falamos em limite nos interessa saber o comportamento da função na vizinhança de um certo ponto, não é necessário que a função esteja definida no ponto a ser analisado. Isso acontece nessa parte da atividade, pois a função f(x) não é definida para .
Como antes da formalização deve ter sido feita a plenária, os alunos já devem ter mostrado os valores que encontraram para valores próximos à esquerda e à direita de (questão a e b). Então, sugere-se que o professor abra o aplicativo desenvolvida no GeoGebra, para visualização da função f(x) do que acontece com sua imagem conforme varia o valor de x.
Aplicativo desenvolvido para formalização da parte 2 do problema
Nesse aplicativo é possível movimentar o controle deslizante “e” e “d”, que mostram valores à esquerda e à direita, respectivamente, do ponto . Na planilha também é possível verificar a imagem de alguns pontos. No desenho do gráfico da função, deve ser enfatizado que a função tem uma bola aberta em , e que o GeoGebra não plota ela. Pelas evidências numéricas, somos induzidos a concluir que , o que responde a questão c. O professor pode confirmar esse resultado para turma, através de manipulações algébricas, assim: , observando que o numerador se trata de um produto notável. Logo, é evidente que quando , e que apesar da função não estar definida em , o limite existe.