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Einteilige Quartiken in ℂ

Auteur :Walter Füchte
Sind die 4 Brennpunkte verschieden und ist deren absolute Invariante , so liegen die Brennpunkte spiegelbildlich auf zwei orthogonalen Kreisen. Man kann dann das euklidische KOS so wählen, dass die Brennpunkte symmetrisch auf den Achsen liegen: . Die einzelnen Quartiken der konfokalen Schar sind festgelegt entweder durch den Scheitel auf der -Achse oder durch einen beliebige Punkt in der Ebene, von den Achsenpunkten abgesehen, und eine der beiden orthogonalen Richtungen durch diesen Punkt. Im Applet oben kann man die Quartiken durch Bewegen von und erkunden. Wir erinnern daran, dass die Lösungskurven des quadratischen Vektorfeldes die Winkelhalbierenden der zugehörigen Kreisbüschel durch und sind. Eines der beiden Kreisbüschel ist hyperbolisch, das andere elliptisch. Mit Hilfe des Scheitels und des Scheitelkreises durch um den Ursprung kann man einen der beiden Leitkreise und damit die Quartik als Ortskurve "konstruieren": Wählt man den Brennpunkt aus, so geht der zugehörige Leitkreis durch die Brennpunkte und . Einen 3. Punkt erhält man durch Spiegelung von an dem doppelt berührenden Scheitelkreis. Die Gleichung der bizirkularen Quartik lautet:
  • .
Leicht nachzurechnen sind die Scheitel auf der -Achse. Ein Scheitel auf der -Achse ist , wenn man voraussetzt. Die Konstruktionen der Ortskurven beruhen auf der grundlegenden Beziehung zwischen Brennpunkt, den zu einer Symmetrie gehörenden doppelt-berührenden Kreisen und dem Leitkreis: Spiegelt man den Brennpunkt an den doppelt-berührenden Kreisen, so liegen die Spiegelpunkte auf den zugeordneten Leitkreisen. In der Schar konfokaler Quartiken liegen 2 CASSINI-Quartiken. Diese entstehen aus den zwei orthogonalen Kreisen durch mit Mittelpunkt und dem Radius , bzw. und dem Radius unter der Wurzelfunktion:
  • bzw. .
Woran erkennt man die zu den CASSINI-Quartiken gehörenden Leitkreise? Den einzelnen Quartiken der konfokalen Schar invariant zugeordnet ist der jeweilige Spiegelpunkt des ausgewählten Brennpunkts an seinem Leitkreis. Liegt nun in einem der Grundpunkte der 4 Brennpunkte, so ist die Quartik eine CASSINI-Quartik. Im obigen Fall ist dies nur für die Grundpunkte oder 0 möglich. Das kann man oben experimentell nachprüfen: für die eine CASSINI-Quartik ist der Mittelpunkt des Leitkreises, der Spiegelpunkt ist somit , für die andere CASSINI-Quartik ist der Spiegelpunkt am Leitkreis . Für die CASSINI-Quartiken ist die zugehörige HERMITESCHE Matrix ausgeartet: ihre Determinante ist 0. Bemerkung: bei der Wahl des KOS mit den Achsen als Symmetrieachsen sind ; und die Grundpunkte. Sonderfälle:
  • Im Tetraederfall ist , für den Brennpunkt gilt dann .
  • Ist , so liegen die Brennpunkte in harmonischer Lage: .
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