Maximización de Producción y Ganancia - Problemas Verbales de Ballet
Maximización de Producción (Sujeta a Límites de Costos y Tiempo)
1. Confección de Vestuario (Tutús): El taller de vestuario de una compañía necesita confeccionar tutús románticos y tutús clásicos para su temporada de primavera. La producción de un tutú romántico cuesta 50 dólares en materiales y requiere 2 horas de trabajo, generando una ganancia proyectada de 30 dólares al alquilarlos. Un tutú clásico cuesta 80 dólares en materiales, requiere 5 horas de trabajo y genera una ganancia de 60 dólares. Si el taller tiene un presupuesto máximo de 800 dólares y dispone de un máximo de 40 horas de trabajo a la semana, ¿cuántos tutús de cada tipo deben confeccionarse para maximizar las ganancias?
2. Planificación de Ensayos en los Estudios: El director artístico debe distribuir los ensayos generales para Giselle y Don Quijote. Cada ensayo completo de Giselle requiere 3 días en el Estudio Principal y 1 día en el Estudio Secundario, aportando un valor de utilidad escénica (en calidad de ensamble) estimado en 2000 dólares por función. Cada ensayo de Don Quijote requiere 2 días en el Estudio Principal y 2 días en el Estudio Secundario, con un valor de utilidad de 2500 dólares. Si el Estudio Principal está disponible por un máximo de 24 días y el Secundario por 16 días antes del estreno, ¿cuántos ensayos de cada obra deben programarse para maximizar la utilidad total del montaje?
3. Manufactura de Zapatillas de Punta: Una marca artesanal produce zapatillas de punta para ensayo y zapatillas de punta exclusivas para función. Las zapatillas de ensayo requieren 1 hora de mano de obra y 15 dólares en materiales, dejando una ganancia de 10 dólares por par. Las de función toman 3 horas de mano de obra, 20 dólares en materiales y dejan una ganancia de 25 dólares. Sabiendo que el límite semanal de horas de trabajo en el taller es de 60 horas y el presupuesto límite para materiales es de 600 dólares, determina la cantidad de pares de cada tipo que se deben fabricar semanalmente para maximizar la ganancia.
4. Construcción de Escenografía: Para la escenografía de El Lago de los Cisnes, el equipo técnico construye árboles tridimensionales y columnas del castillo. Cada árbol requiere 4 horas de carpintería y 2 horas de pintura, logrando un ahorro de 150 dólares frente al costo de alquilarlos. Cada columna requiere 3 horas de carpintería y 5 horas de pintura, logrando un ahorro de 200 dólares. El equipo cuenta con un máximo de 120 horas de carpintería y 110 horas de pintura disponibles en el cronograma. ¿Cuántos elementos escenográficos de cada tipo deben construir para maximizar el presupuesto ahorrado?
5. Mercadotecnia y Programas de Mano: El comité de voluntarios de una escuela de ballet venderá programas de mano y camisetas conmemorativas en su función anual. Cada programa cuesta 2 dólares imprimirlo, requiere 0.1 horas para ser ensamblado y deja 3 dólares de ganancia. Cada camiseta cuesta 8 dólares, requiere 0.2 horas para ser empaquetada y deja 10 dólares de ganancia. La escuela cuenta con un presupuesto de inversión de 400 dólares y los voluntarios disponen de un total de 15 horas de trabajo. ¿Qué cantidad de programas y camisetas deben preparar para maximizar los fondos recaudados?
Maximización de Ganancias y Precios (Determinación del Precio Ideal)
6. Precio Ideal de Taquilla para El Cascanueces: Durante la temporada pasada, los boletos para El Cascanueces se vendieron a 20 dólares cada uno, logrando una asistencia máxima de 500 personas por función. Un estudio de mercado indica que por cada aumento de 2 dólares en el precio del boleto, la asistencia disminuirá en 25 personas. Si la función de ingresos totales de la taquilla está dada por la ecuación R(x) = (20 + 2x)(500 - 25x), donde x es el número de incrementos de 2 dólares, ¿cuál debe ser el precio ideal del boleto para obtener la mayor ganancia posible?
7. Clase Magistral con un Bailarín Principal: Una academia organiza una clase magistral técnica. Si cobran 50 dólares por la inscripción, esperan matricular a 80 estudiantes. Se estima que por cada incremento de 5 dólares en el costo, 4 bailarines menos podrán pagar la matrícula. Sabiendo que el ingreso se modela con la función I(x) = (50 + 5x)(80 - 4x), determina el precio de inscripción que generará la mayor utilidad posible para la academia y cuántos estudiantes asistirían a dicho precio.
8. Cuotas de Audición para la Compañía: La cuota actual para participar en las audiciones de ingreso a la compañía es de 30 dólares, lo que suele atraer a 200 aspirantes. La junta directiva nota que por cada reducción de 1 dólar en la cuota, 10 bailarines adicionales se inscriben. Sin embargo, procesar cada audición tiene un costo logístico fijo de 5 dólares por bailarín (dorsales, personal de evaluación). Utilizando la función de ganancia neta P(x) = (30 - x - 5)(200 + 10x), ¿qué cuota de audición maximiza la ganancia real de la compañía?
9. Venta de Leotardos de Edición Limitada: La escuela de ballet ha diseñado un leotardo exclusivo para sus estudiantes avanzados. La ecuación de demanda que relaciona el precio p y la cantidad de leotardos vendidos $q$ está dada por la expresión p = 120 - 0.5q. El costo de manufactura por cada leotardo es de 20 dólares. Si la función de ganancia se expresa como G(q) = q(120 - 0.5q) - 20q, ¿cuántos leotardos se deben ordenar y vender, y a qué precio, para obtener la ganancia máxima?
10. Gala VIP de Recaudación de Fondos: Para financiar becas, se realizará una gala especial con cena y una suite de Paquita en vivo. El boleto cuesta actualmente 150 dólares, con una asistencia proyectada de 300 invitados. Por cada reducción de 10 dólares en el boleto, se espera que asistan 30 personas más. El costo fijo del servicio de catering por cada invitado es de 40 dólares. Si x representa el número de reducciones de 10 dólares, plantea la función de ganancia G(x) y encuentra el precio óptimo del boleto que maximice las ganancias netas de la gala.