Uso del valor esperado en la toma de decisiones

En este apartado analizaremos cómo los tomadores de decisiones combinan las probabilidades de que una variable aleatoria asuma ciertos valores con las ganancias o pérdidas monetarias que se dan cuando efectivamente toma estos valores. De esta forma, los responsables son capaces de decidir inteligentemente en condiciones de incertidumbre.

Combinación de probabilidades y valores monetarios



Un vendedor al mayoreo de frutas y legumbres que comercia con frambuesas. Este producto tiene una vida útil muy limitada: si no se vende el día que llega, ya no tiene valor. Una caja de frambuesas cuesta $20 y el vendedor recibe $50 por ella. Éste no puede especificar el número de cajas que un cliente pedirá en cualquier día dado, pero su análisis de registros pasados ha producido la información que presentamos en la tabla.

Ventas durante 100 días

Ventas diarias Número de días de ventas Probabilidad de venta de cada cantidad
10 11 12 13 15 20 40 25 0.15 0.20 0.40 0.25

El vendedor al mayoreo ha sufrido dos tipos de pérdidas: 1) pérdidas por obsolescencia, ocasionadas por tener en existencia demasiada fruta en un día y tener que tirarla al siguiente, y 2) pérdidas de oportunidad, ocasionadas por no tener en existencia el producto al momento en que un cliente lo solicita (los clientes no esperan más allá del día en que solicitan una caja de bananas). Los valores que se tienen en la tabla incluyen no solamente las pérdidas por la fruta descompuesta, sino también las que se derivan de los ingresos perdidos cuando el vendedor no es capaz de suministrar un pedido. Cuando el número de cajas en existencia en un día cualquiera es igual al número de cajas solicitadas no ocurre ninguno de estos dos tipos de pérdida. En tales casos, el vendedor vende todo lo que tiene almacenado y no sufre pérdidas. Esta situación se indica con el cero en negrita que aparece en la columna correspondiente. Las cifras que se encuentren por encima de un cero cualquiera representan las pérdidas sufridas al tener que tirar la fruta. En este ejemplo, el número de cajas almacenadas es mayor al de cajas solicitadas. Por ejemplo, si el vendedor tiene en existencia 12 cajas, pero recibe solicitud para sólo 10 de ellas, pierde $40 (o $20 por caja no vendida ese mismo día). Los valores que se encuentran debajo de los ceros en negrita representan las pérdidas de oportunidad derivadas de pedidos que no se pueden cumplir. Si, un cierto día, el vendedor tiene en existencia solamente 10 cajas de bananas y le solicitan 11, éste sufre una pérdida de oportunidad de $30 por la caja que le faltó ($50 por caja menos $20 de su costo, igual a $30).

Calculo de perdidas esperadas La tabla B es una tabla de pérdidas condicionales. Cada valor en ella está condicionado a un número específico de cajas que se encuentran en existencia y a un número específico de solicitudes.
Posibles peticiones de bananas10111213
10 11 12 13 0 30 60 90 20 0 30 6040 20 0 3060 40 20 0
Las tablas C, D, E y F muestran los cálculos de la pérdida esperada resultante de decidirse por el almacenamiento de 11, 12 y 13 cajas de bananas, respectivamente. Tabla C
Posibles solicitudesPerdida condicionalProbabilidad de que se tengan estas solicitudesPerdida esperada 
10 11 12 13$0 30 60 900.15 0.20 0.40 0.25$0.00 6.00 24.00 22.50 $52.50

Tabla D

Posibles solicitudesPerdida condicionalProbabilidad de que se tengan estas solicitudesPerdida esperada 
10 11 12 13$20 0 30 600.15 0.20 0.40 0.25$3.00 0.00 12.00 15.00 $30.00
Tabla E
Posibles solicitudesPerdida condicionalProbabilidad de que se tengan estas solicitudesPerdida esperada 
10 11 12 13$40 20 0 300.15 0.20 0.40 0.25$6.00 4.00 0.00 7.50 $17.50
Tabla F
Posibles solicitudesPerdida condicionalProbabilidad de que se tengan estas solicitudesPerdida esperada 
10 11 12 13$60 40 20 00.15 0.20 0.40 0.25$9.00 8.00 6.00 0.00 $25.00

La acción de almacenamiento óptima es aquella que minimiza las pérdidas esperadas. Tener en existencia 12 cajas diariamente constituye esta opción, en cuyo caso las pérdidas esperadas toman el valor mínimo de $17.50. Con la misma facilidad, se pudo haber resuelto este problema tomando un camino alternativo, es decir, maximizando la ganancia esperada ($50 recibidos por caja de fruta, menos $20 del costo de cada caja), en lugar de minimizar la pérdida esperada. En cualquier caso habríamos obtenido la misma respuesta: 12 cajas en existencia. Para ampliar este tema remítase a la pagina 187 del libro de texto.

Tarea 70

La compañía Airport Rent-a-Car opera de manera local y compite con varias alquiladoras más grandes. Airport Rent-a-Car está planeando ofrecer un nuevo contrato a los clientes potenciales que deseen alquilar un automóvil por sólo un día para devolverlo en el aeropuerto. La tarifa será de $35 y el automóvil, un modelo compacto económico; el único gasto adicional del cliente será llenar el tanque del automóvil al término del día. Airport Rent-a-Car tiene planeado comprar cierto número de automóviles compactos al precio especial de $6,300. La pregunta que se tiene que responder es: ¿cuántos automóviles deben comprar? Los ejecutivos de la compañía han estimado la siguiente distribución para la demanda diaria del servicio:

Número de automóviles alquilados 13 14 15 16 17 18 Probabilidad 0.08 0.15 0.22 0.25 0.21 0.09

La compañía pretende ofrecer el servicio seis días a la semana (312 días al año) y estima que el costo por automóvil por día será de $2.50. Al término de un año, la compañía espera vender los automóviles y recuperar el 50% del costo original. Sin tomar en cuenta el valor temporal del dinero ni cualquier otro gasto que no sea en efectivo, utilice el método de pérdida esperada para determinar el número óptimo de automóviles que debe comprar la compañía.

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