Einführung: Der Grenzwertbegriff
Sprechen wir über Grenzwerte, wird häufig die umgangssprachliche Formulierung "gegen ... streben" genutzt. Doch was genau ist damit eigentlich gemeint?
Zunächst wollen wir uns mit diesem verbalen Ansatz des Grenzwertes auseinandersetzten, um der mathematisch korrekten Definition etwas näher zu kommen.
Dafür betrachten wir als erstes eine uns bereits bekannte Folge: Die harmonische Folge ().
Aufgabe 1
Gegen welche Zahl a strebt die Folge () für immer größer werdende n?
Autor: https://www.geogebra.org/u/lindner Andreas Lindner (CC-by-SA)
Aufgabe 2:
Versuche eine Definition des verbalen Ausdrucks "gegen ... streben" zu formulieren.
Aufgabe 3: Wahr oder Falsch - Bewerte folgende Aussagen
Für wachsende n wird der Abstand von und 0 immer kleiner.
Für wachsende n wird der Abstand von und -37 immer kleiner.
Die harmonische Folge strebt gegen 0.
Die harmonische Folge strebt gegen -37
Der Abstand der Folgenglieder zu 0 wird unendlich klein, wenn n unendlich groß wird.
Es existiert ein Folgenglied der harmonischen Reihe, sodass für ein genügend großes n folgende Aussage gilt: .
Sicherlich ist dir die Beantwortung der Fragen erstmal leicht vorgekommen. Vielleicht bist du aber auch über einige gestolpert oder hast sie nicht richtig beantwortet. Wie du merkst, ist es nicht so einfach, eine mathematisch exakte Definition für den verbalen Ausdruck "strebt gegen ..." aufzustellen, auch wenn man eigentlich eine (genaue) Vorstellung hat, was der Ausdruck bedeutet.
Im nächsten Kapitel wird die Definition für Konvergenz und Divergenz von Folgen, welche von von A. L. Cauchy aufgestellt wurde, eingeführt und im weiteren Verlauf des Kapitels veranschaulicht.