Задача из ЕГЭ по теме Перпендикулярность прямой и плоскости
- Author:
- Вера
Задача взята с сайта ege.sdamgia.ru
Данное задание направлено на обучение применению знаний по теме Перпендикулярность прямой и плоскости для решения задач.
Возможности GeoGebra позволяют учащимся быстро справляться с построением чертежа к задаче и его анализом, выбирать удобный ракурс изображения, а также замечать некоторые факты о взаимном расположении объектов в пространстве, что не дает плоский чертеж.
Анализируя набор инструментов Полотна 3D, учащиеся должны догадаться, как можно построить сечение пирамиды SABCD плоскостью PQR (например, применив инструменты Плоскость через 3 точки и Кривая пересечения). С помощью инструмента Угол можно проверить, что прямая SD и плоскость PQR перпендикулярны, т.е. то, что требуется доказать в задаче. Измеряя углы между различными прямыми, учащиеся должны заметить, что ΔDSB прямоугольный. Этот факт важен для доказательства перпендикулярности прямых SD и PQ (SD⊥SB, SB||PQ, значит SD⊥PQ). Далее необходимо доказать, что SD перпендикулярна еще одной прямой, лежащей в плоскости PQR и пересекающейся с прямой PQ (например, что SD⊥QR). Применив признак перпендикулярности прямой и плоскости, учащиеся должны сделать вывод, что SD⊥PQR.
В случае возникновения трудностей при составлении плана решения можно обратиться к подсказке, скрытой под флажком.
Чертеж частично готовится учителем: правильная пирамида SABCD, все ребра которой равны 5, на ребрах SA, AB, BC отмечаются точки P, Q, R так, что AP=AQ=CR=2. Остальные построения выполняются учениками.
Можно также предложить учащимся самим построить чертеж полностью самостоятельно, в этом случае необходимо сделать следующие пояснения. Во-первых, для построения основания пирамиды удобно использовать Полотно с координатной сеткой. Во-вторых, для построения пирамиды можно использовать одноименный инструмент, требующий задания многоугольника-основания и высоты пирамиды. Так как из условия задачи нетрудно вычислить, что длина высоты - число иррациональное, то перед учащимися возникает задача, как с помощью набора инструментов Полотна можно построить отрезок такой длины. Для того, чтобы на ребрах пирамиды отложить отрезки AP, AQ и CR длины 2, учащиеся должны догадаться использовать инструменты Сфера по центру и радиусу и Пересечение Полотна 3D.