Egy mértani helyes probléma (30.)

Dobcsányi János tanár úrtól származik a következő probléma: Az AB egyenesre az O pontjában merőleges egyenesen fut a C pont. Az O merőleges vetülete az AC egyenesen P, a BC egyenesen Q. A PQ és AB egyenesek metszéspontja R. Mi az R pontok mértani helye, ha C végigfut az egyenesen? A GeoGebrának köszönhetően az Euklideszi geometriában könnyen juthatunk sejtéshez. (Nem volt ez mindig így.)
Úgy tűnik, hogy a keresett mértani hely egyetlen pont. Hosszú ideig nem találtunk e sejtés bizonyítására más módot, mint a koordinátageometriás bizonyítást.

Dötsch András bizonyítása

A befogótétel, és a Menelaosz-tétel a hasonlóság következményei, ami csak az Euklideszi geometriában van. És a másik két geometriában mi van?

A hiperbolikus geometriában:

Úgy látszik, hogy a mértani hely itt is egy pont.

A gömbi geometriában:

Már megint egy abszolút geometriai tételt találtunk?