Mire (is) használhatók komplex számok?
Sok évvel ezelőtt a speciális matematika tantervű osztályokban a komplex számok tanítása közben ezeket a számokat eszközként (is) használtuk elemi geometriai problémák megoldásához.
Ez azért került most (megint) fókuszba, mert megjelent Dr. Szilassi Lajos Tanár úr A propeller tétel - és története című Geogebra anyaga. Ennek végén, P.S. jelzéssel, a szerző felhívja a figyelmet egy dolgozatra, aminek (egyik) lényeges megállapítása az, hogy a fent említett Geogebra anyag problémái megoldhatók komplex számos módszerrel.
A komplex számok jól kezelhetők a Geogebra CAS eszközeivel.
Ezekre alapozva gondoltuk azt, hogy a komplex számos megoldási mód "megér egy misét". Ez következik itt most.
Az anyag végigkövetése után az olvasó véleményt alkothat arról, hogy az elemi vagy a komplex számos megoldási módot gondolja érdekesebbnek, hasznosabbnak, tanulságosabbnak ...
A szerző erőt vesz magán, és nem nyilvánít erről véleményt.
Alapvetések:
1) A sík pontjai komplex számok.
2) A sík vektorai komplex számok.
3) A PQ = Q - P (vektor)
1. probléma
Legyen egy kör középpontja O, az A, C és E a kör pontjai! Legyenek OABΔ , OCDΔ és OEFΔ azonos körüljárású, egybevágó szabályos háromszögek! Milyen kapcsolat van a BC, DE, FA szakaszok P, Q, R felezőpontjai között?
(Elemi geometriai megoldás)
Megjegyzés
A nem pöttyel jelölt pontok mozgathatók, érdemes is mozgatni azokat.
További alapvetések a komplex számos megoldáshoz
4) Egységnyi abszolút értékű komplex szám trigonometrikus alakja: cos + isin.
5) P 0 körüli szögű elforgatottja P(cos + isin).
6) v szögű elforgatottja v(cos + isin).
7) PQ szakasz felezőpontja: .
2. probléma
Legyen a sík négy általános helyzetű pontja O, A, C és E! Legyenek OABΔ , OCDΔ és OEFΔ azonos körüljárású, szabályos háromszögek. Milyen kapcsolat van a BC, DE, FA szakaszok P, Q, R felezőpontjai között?
(elemi geometriai megoldás)
További alapvetés a komplex számos megoldáshoz
8) Egy komplex szám szám kanonikus alapja: a1 + ia2.
Megjegyzés
Az O pontot 0-nak választottuk.
3. probléma
Legyen adott TUVΔ ,TABΔ, UCDΔ és VEFΔ a sík négy azonos körüljárású szabályos háromszöge. Milyen kapcsolat van a BC, DE, FA szakaszok P, Q, R felezőpontjai között?
(elemi geometriai megoldás)
És még egy alapvetés a komplex számos megoldáshoz
9) Q = P + PQ .
Megjegyzés:
- Feltételeztük, hogy a TUV középpontja 0.
- Egy pont 0-körüli 120°-os elforgatottja megkapható két 60°-os elforgatás egymásutánjaként.
4. probléma
Bizonyítandó, hogy ha az ABC, AHJ, DBE és FGC azonos körüljárású hasonló háromszögek, akkor a DF, GH és JE szakaszok X, Y, Z felezőpontjai a másik négyhez hasonló háromszög csúcsai.
(elemi geometriai megoldás)
Utolsó alapvetések a komplex számos megoldáshoz
10) Ha P' = Pz, akkor P' a P 0 körüli olyan forgatva nyújtással kapott képe, melynek aránya |z|, szöge a z irányszöge (argumentuma).
11) Ha v' = vz, akkor v' a v olyan forgatva nyújtással kapott képe, melynek aránya |z|, szöge a z irányszöge (argumentuma).