緊張感のもとは単純？
ディミニッシュ７は単純だ
このワークシートはMath by Codeの一部です。
アプレット、背景、実装の順に見ていきましょう。
１．背景
１，３，５，７番目の音は
和音としても
ありふれた音の積み方、たし方ですね。
なにしろ、ドレミファソラシの音に音階にただ、奇数番目を押してできるからです。
そこで、偶数番目がスパイスになりそうです。２，４，６の音ですね。
ただ、７音を全部押しても音楽にはなりません。
そこで、単純なルールで「緊張感」のある和音を作ってみよう。
また、別の方法で、緊張感のある和音を作る方法を調べましょう。
＜教会モードで度数の思い起こし＞
C＝１はイオニアン（メジャー）全全半全 全全半
D＝１はドリアン 全半全全 全半全
E ＝１はフリジアン 半全全全 半全全
F ＝１はリディアン 全全全半 全全半
G＝１はミクソ・リディアン 全全半全 全半全
A＝１はエオリアン（マイナー）全半全全 半全全
B＝１はロクリアン 半全全半 全全全
マイナーでもメジャーでも、
完全５度（全３半１）が大半なこと、
完全４度（全２半１）が大半なこと
この２つは変わりませんね。
３度は間の音程が２つありますが、半半はありませんでした。３度は全全か全１半１です。
全全というのは長３度（メジャー3）、全半か半全が短３度（マイナー３）です。
４和音にすることで、７度の音程に気づきました。半の音程は最高２つしかないので、
７度は全５半１か全４半２のどちらかです。
半１というのは長７度（メジャー７）、半２が短７度（マイナー７）ですが、
マイナー７が普通なのでマイナーをつけずにただの７度といいます。
つまり、５度、４度は基本的に完全が主ですが、３度と７度はメジャーとマイナーがあったのでした。
３度のマイナーはコードをマイナーにするのですが、
７度のマイナーはマイナー７なのに、ただの７をつけます。
マイナーでない７、つまりメジャー７はスケール上の７番なのに、レアなので逆にmaj7とか△7とか
かきましたね。
＜偶数は７の上にある＞
通常のコードでとばしてきた２，４，６は、響きの関係で飛ばすのが当然でしょう。
しかし、７の先にあるとして考えると、音のたし算ができるかもしれません。
２＋７＝９
４＋７＝１１
６＋７＝１３
つまり、７番コードの上に音をさらに重ねるのです。
すると、偶数に見えたものが、
７番を法とした剰余では偶数だったものが、
音階の主音から数えていくと、みな奇数番目ともいえるようになるのですね。
そうはいっても、音名でみると、一音違いの音を押させることになり、
とても緊張感があります。
７の上に積み重ねる和音をテンションコードといいます。
まぎらわしいですが、１音だけたし算する場合は別の言い方があります。
・sus4
１１番ではなく４番として押すときはsus4とかsusとかいいます。
（例）
Gsus4 > G7のコード進行
・６番
１３番ではなく６番として押すときは６番といいます。（例）C６。
＜メジャースケール上の７和音＞
白鍵の１番と３番と5番と７番の４和音の先に9番、11番、13番の3音を重ねた７和音を考えます。
１ ３ ５ ７８ ９ 11 13 15
C＝１はイオニアン（メジャー）全全半全全全半|全|全半|全全|全半
D＝１はドリアン 全半全全全半全|全|半全|全全|半全
E ＝１はフリジアン 半全全全半全全|半|全全|全半|全全
F ＝１はリディアン 全全全半全全半|全|全全|半全|全半
G＝１はミクソ・リディアン 全全半全全半全|全|全半|全全|半全
A＝１はエオリアン 全半全全半全全|全|半全|全半|全全
B＝１はロクリアン 半全全半全全全|半|全全|半全|全全
１つとばしで、白鍵の奇数番号、１，３，５，７，９，11, 13を同時に引いたのが７和音です。
９番－８番が全だと、９度、半だとー９．
11番－８番が全全半だと１１、全全全は+11
13番ー８番が全全半全全で13, 半が２つで-13
７和音を機械的にかくとどうなるでしょう。
C=1ではC３・７、 9, 11, 13。つまり、Cmaj7、9.11.13
D=1ではD-３・-7、9, 11, 13。つまり、Dm7、9.11.13
E=１ではE-3・-7、-9, 11, -13。つまり、Em7-9.11-13
F=１ではF３・７、 9,+11, 13。つまり、Fmaj7、9+11.13
G=１ではG３・-７, 9, 11, 13。つまり、G7、9.11.13
A=１ではA-３・-７,9, 11, -13。つまり、Am7、9.11-13
B=１ではB-3,-5,-7, -9, 11,-13。つまり、Bm7-5、-9.11-13
＜メジャースケール上のテンションで避けたいもの＞
４和音に対して、追加の3音がいつもたされるわけではありません。
テンションというより不安定、不協和な音程を避けることが必要です。
一般的には、次のように言われています。
・コードトーンの全全全差は避ける。
Dm7のー３とー13≡－６(mod7)は全全全の音程だから避ける。
・コードトーンと半音差は避ける。
９番
Eｍ7のー９番のFは8番≡1番のEと半音差だから避ける。
Bm7-5のー９番のCは８番≡１番のCと半音差だから避ける。
11番
Cmaj7の11番≡４番のFは３番のEと半音差だから避ける。
G7の11番≡４番のCは３番のBと半音差だから避ける。
13番
Em7のー13番≡ー６番のCは５番のBと半音差だから避ける。
Am7のー13番≡ー６番のFは５番のEと半音差だから避ける。
７和音で、避けたいものを除いた残りは、
C=１ではCmaj7、9.13＝C+Bｍ７(5ぬき）
D=１ではDm7、 9.11＝Dｍ+C
E=１ではEm7、 11 ＝Em+D(３ぬき）
F=１ではFmaj7、 9+11.13＝F＋Emmaj7
G=１ではG7、 9.13=G+Fmaj7（５ぬき）
A=１ではAm7、 9.11=Am+G
B=１ではBm7-5、11-13＝Bm-5+A7(3ぬき）
＜一般化＞
１番メジャースケール上のテンションコードは
１番maj7, 9. 13
２番m7、 9.11
３番m7、 11
４番maj7, 9+11.13
５番7、 9. 13
６番m7、 9. 11
７番m7-5、 11-13
＜演奏上の注意＞
全部のせということは少ないので、
7音コードを意識して、３和音＋７番をベースにしたスケール上の４和音をつける
７，９，１１，１３⇒ ー６⇒ 7番を１とした１，３，５，７
テンションを強調するときは、3和音部分の３，５度は省いたりすることが多い。
＜ナチュラルマイナースケール上の７和音＞
白鍵の１番と３番と5番と７番、９，１１，１３番を同時に押してみます。
１ ３ ５ ７８ ９ 11 13 15
A＝１はエオリアン（メジャー）全半全全半全全|全|半全|全半|全全
B＝１はロクリアン 半全全半全全全|半|全全|半全|全全
C＝１はイオニアン（メジャー）全全半全全全半|全|全半|全全|全半
D＝１はドリアン 全半全全全半全|全|半全|全全|半全
E ＝１はフリジアン 半全全全半全全|半|全全|全半|全全
F ＝１はリディアン 全全全半全全半|全|全全|半全|全半
G＝１はミクソ・リディアン 全全半全全半全|全|全半|全全|半全
１つとばしで、白鍵の奇数番号、１，３，５，７，９，11, 13を同時に引いたのが７和音です。
７和音で、避けたいものを除いた残りは、
A=１ではAm7、 9.11
B=１ではBm7-5、11-13
C=１ではCmaj7、9.13
D=１ではDm7、 9.11
E=１ではEm7、 11
F=１ではFmaj7、 9+11.13
G=１ではG7、 9.13
＜一般化＞
1番ナチュラルマイナースケール上のテンションコードは
１番m7、 9. 11
２番m7-5、 11 -13
３番maj7、9. 13
４番m7、 9. 11
５番m7、 11
６番maj7、9+11.13
７番7、 9. 13
＜ディミニッシュ＞
ディミニッシュコードは名前も、説明も複雑に感じる人がいるかもしれません。
図形としてみると単純です。
たとえば、
Cメジャースケールでの７番目の４和音はBm７－５でした。
Bから白鍵だけを４つ押してB、D、F、Aです。
Bからみると１、－３、－５、－７というマイナスだらけです。
B＝１はロクリアン |半全|全半|全全|全|
さて、ここで音程は12で1周したことを思い出してください。
そして、７度はメジャー７(全５半１）マイナー７（全４半２）の2種類が
スケールコードで生まれる７度でした。もう一声半音を増やした減７度（全３半３）を作るのです。
Bからみると１、－３、－５、ー－７というマイナスだらけです。
B＝１でディミニシュ |半全|全半|全半|半全|
Bから順にB、D、F、G#の４つを押します。
さあ、これで、きれいに12個の半音階クロマチックスケールが４等分されました。
綺麗ですね。これをBdim7といいます。
BからみてG#が減７度（diminished 7th)だからです。
音程の均等性に目をつけると、
Bdim7=Ddim7=Fdim7＝G#dim7になることがわかりますね。すべて半音あげると
Cdim7=D#dim7=F#dim7=Adim7です。さらに半音あげると
C#dim7=Edim7=Gdim7=A#dim7となります。今までのスケールの世界は、同型の和音はキーごとに12個できました。
ディミニッシュコードはキーを変えても、本質的に3個しかないことがわかりますね。
この事実を表したものが、最初のアプレットです。
２．実装
質問：ディミニッシュコードが視覚化できるアプレットはどうやって作りますか？
12種類の音名があるので、12角形の点にします。
たとえば、e^(i 2π/k) k=1...12として、12個の複素数ｚ１からｚ１２を設定しましょう。
12音名のリストNameS={"B", "C",......., "A#"}にたいして、
NameS(1), NameS(2),....,NameS(12)を１つ１つのテキストオブジェクトとして、
txt1, txt2,.....txt12と名前をつけなおします。
そうして、それぞれのテキストオブジェクトtxt kの「設定」の「位置」のリストから対応するｚk
を選ぶべば、12個の頂点に、音名を表示できるようになるでしょう。
1つ１つの複素数の他に、複素数のリストpt=sequence(e^(i 2π/k), k, 1, 12)を設定しておけば、
pt(x)のｘを適当に選ぶことで、スケールに関係のある点を強調できます。
（そして、選ばれた番号の頂点ｋに対して、mod（ｋ－１,12）+1をすることで、１２のときに１２にする
変則mod12を作ることで、ｋの変化に対して、１，２、…、１２、１，２、…。１２と返します。）
選ばれたスケールの番号M={1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12}です。これがメジャーとの違いです。
キーをn=2としたばあい、M＋n-1={2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13}と、リストをシフトして、MNという名前をつけます。そして、Sequence(Mod(MN(k)-1, 12)+1,k,1,12)として複素数の番号を12個に納めます。
たいていのスケールは７音ですが、クロマチックは12音なので、数列の範囲を７から12に変える必要があるので注意しましょう。
ここで、zip(pt(k),k,MN2)とするとMN2番目の頂点、つまりキーが２のスケール音名を強調できますね。
最後に和音がサイクリックな音名の関係、つまり円環構造なので、
スケール上の４和音の点を多角形の頂点として選びだしましょう。
4和音Cp4＝｛MN2(i),MN2(i+3),MN2(i+6),MN2(i+9)｝と番号リストを作ります。
すると、12等分の点からpolygon(pt(Cp4(1)),pt(Cp4(2)),pt(Cp4(3)),pt(Cp4(4))とするだけで四角形が指定できます。
くわしくは、かくれた「数式」を広げて、グラフィックビューを一時的にせまくして、観察しましょう。