[고등수학탐구교실]복소수와 복소평면
복소수의 뜻
제곱하여 이 되는 새로운 수를 생각하고 이것을 기호 로 나타낸다. 즉
이다. 이러한 수 를 허수단위라 하고, 제곱하여 이 되는 수이므로
과 같이 나타낸다.
임의의 두 실수 에 대하여
꼴로 나타내어지는 수를 복소수라 하고, 를 복소수의 실수부분, 를 허수부분이라 한다.
한편 으로 정하면 임의의 실수 는
로 나타낼 수 있으므로 실수도 복소수이다.
또 실수가 아닌 복소수 를 허수라 한다.
복소수의 덧셈 확인하기
을 계산해보자.
복소수의 곱셈 확인하기
을 계산해보자.
복소평면
실수를 표현할 때 수직선을 사용하는 것처럼 평면을 사용하여 복소수를 나타낼 수 있다. 복소평면은 복소수를 기하학적으로 표현하기 위해 개발된 평면으로 서로 직교하는 실수축과 허수축으로 이루어져 있다. 이는 복소수의 실수부분이 실수축에, 허수부분이 허수축에 대응된 좌표평면으로 볼 수 있다.
예를 들어 복소평면에 을 복소평면에 나타내면 <그림1>과 같다.
<그림1> 복소평면에 나타낸 복소수
복소평면 확인하기
아래 지오지브라 애플릿에 복소수 
도구를 이용하여 복소수를 나타내어보자.
도구를 이용하여 복소수를 나타내어보자.
- 복소수 도구를 선택한 후 복소수를 나타낼 지점을 클릭하면 복소수를 만들 수 있다.
복소평면 연습하기
복소수의 극형식
복소수는 평면에 나타낼 수 있으므로 극좌표 형식으로 나타낼 수도 있다. 이를 위해 복소수의 크기와 각을 지정해야 한다. 복소수의 크기는 복소평면에 나타낸 복소수와 원점까지의 거리로 로 나타낸다. 즉, 복소수 의 크기 는
이다. 예를 들어 복소수 의 크기 는
이다.
복소평면에서 원점과 복소수를 연결한 선분과 실수축의 양의 부분이 이루는 각을 복소수의 편각이라고 하며, 로 나타낸다. 예를 들어 복소수 , , 의 편각은 각각 , ,이다.
복소수 의 크기와 편각을 각각 구해보자. ※ 각은 호도법을 이용하여 나타내고, 제곱근과 는 '루트2', '파이' 등으로 한글로 작성하시오.
크기가 이고, 편각이 인 복소수의 실수부분과 허수부분을 각각 구하시오.