Funktionenscharen - erstes Beispiel: Fußball
Erstes Beispiel - Flugbahn eines Fußballs
Aus der Physik: Solange ein Fußball nicht zu schnell geschossen wird, d.h. nicht schneller als ca. , lässt sich seine Flugbahn sehr gut mit der sogenannten Wurfparabel beschreiben. Die Funktionswerte der Wurfparabel beschreiben die Höhe des Balles über dem Erdboden in Abhängigkeit von der Flugweite:
Dabei ist
- die Erdbeschleunigung
- ist der Abwurfwinkel. Für eine optimale Weite ist der Abwurfwinkel . Damit sind und
- ist die Abschussgeschwindigkeit. Da wir Schüsse mit unterschiedlichen Geschwindigkeiten untersuchen wollen, bleibt als Buchstabe in der Gleichung stehen. Dies ist nun unser Scharparameter. Weil wir die Geschwindigkeiten in der Einheit einsetzen wollen, müssen wir noch durch ersetzen
- ist die Abwurfhöhe. Da der Fußball vor dem Schuss am Boden liegt, können wir setzen
Wozu braucht man Funktionenscharen?
Mit der oben stehenden Funktionenschar können Fragen beantwortet werden wie:
- Wie weit fliegt der Ball, wenn die Abschussgeschwindigkeit beträgt?
- Wie weit fliegt er, wenn sich die Abschussgeschwindigkeit verdoppelt?
- Welches ist die größte Höhe, die der Ball erreicht?
- und so weiter
Berechnen der Flugweite in Abhängigkeit von der Abschussgeschwindigkeit
Die Flugweite des Balles ist mathematisch gesehen die zweite Nullstelle der Flugbahn.
Wenn man das erkannt hat, dann ist die Aufgabe also nur noch die Nullstellen der Flugbahn
zu berechnen.
Dazu muss die Funktionsgleichung gleich Null gesetzt werden:
Nun kann man ein ausklammern:
Scharparameter werden in den Rechnungen so behandelt, als wäre es einfache Zahlen.
Nun können wir den Satz vom Nullprodukt anwenden:
Ein Produkt ist genau dann gleich Null, wenn mindestens einer der Faktoren , bzw. gleich Null ist.Die Gleichung besteht aus den Faktoren und . Laut dem Satz vom Nullprodukt, ist die Gleichung also dann erfüllt, wenn entweder ist oder wenn ist. Die erste Gleichung beschreibt den Abschusspunkt und die Lösung der zweiten Gleichung ist die gesuchte Weite des Schusses: Dieses ist also die Flugweite des Balles in Abhängigkeit von der Abschussgeschwindigkeit , wenn der Ball in einem Winkel von abgeschossen wird. Man kann in der Gleichung an dem Quadrat am erkennen, dass eine Verdopplung der Geschwindigkeit zu einer Vervierfachung der Flugweite führt, probieren Sie es aus.
Probieren Sie nun selbst: Der höchste Punkt
Wo ist der höchste Punkt der Flugbahn in Abhängigkeit von der Abschussgeschwindigkeit?