Erkunden & Ordnen: Die Produktregel
Wiederholung: Die Ableitung
"Wenn ich meinen x-Wert um ein Stück dx erhöhe, dann verändert sich auch mein Funktionswert f(x). Die Stärke der Veränderung hängt von der Ableitung ab."
Aufgabe 1
a) Überprüfe diese Aussage mithilfe der Simulation.
b) Es ist . Berechne f'(x).
c) Berechne die Veränderung dy an den Stellen x=2, x=4, x=6 und x=8. (Wir nehmen immer dx=1.) Überprüfe deine Ergebnisse mithilfe der Simulation. Tipp
Die Produktregel
Ein Produkt von zwei Zahlen kann man sich immer als Flächeninhalt eines Rechtecks vorstellen. Bei einem Produkt von zwei Funktionen ist dann jede der Funktionen (also und ) eine Seitenlänge des Rechteckes.
Wenn sich nun x verändert, verändern sich sowohl g(x) als auch h(x) (entsprechend ihrer Ableitung). Die Veränderung von f(x) erkennst du an den 3 roten Flächen in der Simulation.
Aufgabe 2
a) Schätze die Veränderung ab, indem du einen Term für alle 3 roten Flächen aufstellst und diese addierst. Kontrollergebnis
b) Um die tatsächliche Ableitung zu bekommen, muss man die Veränderung von x immer kleiner werden lassen. Damit wird eines der roten Rechtecke so klein, dass wir es weglassen müssen. Bestimme die korrekte Ableitung als die Fläche der beiden übrigen Rechtecke. Kontrollergebnis
c) Formuliere die allgemeine Produktregel, indem du in deinem Ergebnis die einzelnen Terme durch die Elemente , , und ersetzt. Tipp
Aufgabe 3
Bearbeite die Aufgabe https://learningapps.org/14507299.
Notiere dazu zu jeder Funktion zunächst u(x) und v(x), berechne und und stelle dann zusammen.