2.1 Parabola come luogo geometrico
Questa attività è una guida per gli studenti alla creazione di una parabola a partire dalla sua definizione geometrica.
Definizione: la parabola è il luogo dei punti nel piano equidistanti da un punto, detto fuoco, e da una retta, detta direttrice.
Seguite le seguenti istruzioni e riuscirete anche voi a costruire una parabola nel piano cartesiano!
- Iniziamo col creare un foglio di geogebra senza assi cartesiani né griglia. Aprite le impostazioni del foglio (potete cliccare col pulsante destro, se state usando un pc) e cliccate su Mostra gli assi e Mostra la griglia.
- Costruiamo due punti A e B con lo strumento Punto
. - Usiamo lo strumento Retta
e selezioniamo i punti appena creati. Questa sarà la nostra direttrice. - Creiamo un punto H sulla direttrice selezionando lo strumento Punto e cliccando in una posizione qualsiasi della retta AB. Attenzione: Geogebra creerà così un punto "C" invece di un punto "H". Possiamo però facilmente rinominare il punto aprendo le impostazioni del punto e cambiando il campo Nome oppure selezionando il punto e cliccando di destro sul campo Rinomina.
- Creiamo un punto F esterno alla direttrice selezionando lo strumento Punto e cliccando in una posizione qualsiasi del piano. Questo sarà il nostro fuoco. Attenzione: anche in questo caso dovremo rinominare il punto!
- Usiamo adesso lo strumento Retta perpendicolare
per costruire la retta perpendicolare alla retta AB e passante per il punto H, cliccando su questi due elementi. - Costruiamo il segmento HF selezionando lo strumento Segmento
e cliccando sui due punti scelti. - Usiamo lo strumento Asse di un segmento
per creare l'asse del segmento HF appena costruito. - Cerchiamo adesso l'intersezione dell'asse del segmento HF (punto 8) con la retta passante per H (punto 6): usiamo lo strumento Intersezione
e selezioniamo le due rette richieste. - Rinominiamo il punto appena creato col nome P e creiamo il segmento PF con lo strumento Segmento già usato in precedenza.
Questo punto è quello che genera la parabola. Volete sapere come?
- Apriamo le impostazioni del punto P e attiviamo la tracciatura del punto cliccando su Mostra traccia.
- Spostando il punto H sulla direttrice, la traccia di P traccerà la parabola dei punti equidistanti da F e dalla retta AB.
Proviamo a capire insieme perché i punti tracciati determinino esattamente i punti della parabola cercata.
Che proprietà ha l'asse di un segmento?
Quindi il triangolo PFH è un triangolo di che tipo?
Usando le proprietà del triangolo PFH, riesci a spiegare perché il punto P sia equidistante dal fuoco e dalla direttrice?