Approximation der Binomialverteilung durch die Gaußsche Glockenfunktion
Forscherauftrag
Heute gehst du der Frage nach, wie sich die Wahrscheinlichkeit einer Binomialverteilung näherungsweise mithilfe einer stetigen Funktion berechnen lässt.
Im Applet siehst du das Histogramm einer Binomialverteilung und eine transformierbare Glockenkurve ( & sind beides ein "kleines Phi").
1 - Datensammlung
- Wähle drei möglichst unterschiedliche Binomialverteilungen.
- Transformiere die Gaußsche Glockenfunktion φ mithilfe der Parameter a, b, c so, dass sie möglichst genau auf dem Histogramm der Binomialverteilung liegt.
- Trage deine Werte in die Tabelle auf dem AB ein.
2 - Vermutungen aufstellen
- Vergleiche deine drei Versuchsdaten und stelle Vermutungen zum Zusammenhang der Transformationsparamter a, b, c mit der Binomialverteilung auf!
- Erkläre auch die Effekte der Transformationsparameter a, b, c auf die Funktion φ anhand der Funktionsvorschrift.
Laplace-Bedingung (Approximationsgüte)
Die Näherung im Satz von Moivre-Laplace ist nicht in jedem Fall gleich gut. Untersuche das im Applet:
(a) Stelle n = 10 und p = 0,1 ein. Wähle a, b, c optimal. Wie gut deckt die Glocke das Histogramm? Beschreibe.
(b) Stelle nun n = 20, n = 50, n = 100, n=200 nacheinander ein (p = 0,1 lassen). Notiere jeweils σ. Wann passt die Glocke gut? Begründe!
(c) Stelle eine Vermutung über eine Bedingung an σ auf, ab der die Näherung «gut» ist.
Näherung brauchbar, wenn σ >