FORMULAÇÃO DOS RESULTADOS
____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ Fala, estudante!
Nesta seção, vamos formalizar os resultados que você observou na investigação anterior. Ao analisar diferentes funções quadráticas, você percebeu que existe uma relação entre os coeficientes , e e as coordenadas do vértice da parábola. Se suas conjecturas estavam corretas, você deve ter notado que essa relação não depende de exemplos específicos: ela é válida para qualquer função quadrática. Assim, podemos sintetizar todas as observações feitas ao longo da investigação nas fórmulas a seguir.
Desse modo, considere a função quadrática com , e e .Assim a abscissa do vértice é dada por
e a ordenada do vértice pode ser calculada por
ou , com
Então, as coordenadas do vértice são dadas porou
EXEMPLO 1: Dada a função quadrática , determine as coordenadas do vértice da parábola. RESOLUÇÃO: 1° PASSO: Determinar os parâmetros , e da função . Sendo assim, temos: , e
2° PASSO: Substituir os valores dos parâmetros nas fórmulas do e . Logo temos que:Portanto, as coordenadas do vértice é .
Observe o gráfico no início da seção. Nele, o vértice da parábola é destacado, validando geometricamente o resultado obtido por meio dos cálculos analíticos demonstrados acima.
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EXEMPLO 2: Dada a função quadrática , determine as coordenadas do vértice da parábola. RESOLUÇÃO:1° PASSO: Determinar os parâmetros , e da função . Sendo assim, temos:
, e
2° PASSO: Substituir os valores dos parâmetros nas fórmulas do e . Logo temos que:
Portanto, as coordenadas do vértice é .
Observe o gráfico abaixo. Nele, o vértice da parábola é destacado, validando geometricamente o resultado obtido por meio dos cálculos analíticos demonstrados acima.
________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ Agora é com você, estudante! Chegou a hora de colocar seus conhecimentos em prática. Resolva os exercícios a seguir utilizando as fórmulas das coordenadas do vértice. Em seguida, sempre que possível, construa o gráfico de cada função no GeoGebra para verificar se o vértice obtido por meio dos cálculos coincide com o vértice da parábola representada graficamente. Essa comparação entre os resultados algébricos e a representação gráfica é uma excelente forma de validar seus cálculos e aprofundar sua compreensão sobre as funções quadráticas.
____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ DETERMINANDO O VÉRTICE DE UMA FUNÇÃO QUADRÁTICA Para cada uma das funções quadráticas a seguir
Faça o que se pede:
[1] Determine as coordenadas do vértice [2] Indique se o vértice representa um ponto de máximo ou de mínimo, justificando sua resposta [3] Construa o gráfico da função no GeoGebra, evidenciando o seu vértice; [4] Compare o resultado obtido por meio dos cálculos com o gráfico e verifique se suas conclusões estão corretas. ____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
Observação: Resolva as atividades em seu Material de Estudos e, ao final, utilize o GeoGebra para verificar se os resultados obtidos estão corretos.
____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________Resolva os problemas contextualizados abaixo referentes ao conceito de vértice de uma função quadrática.
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LUCRO DE UMA LOJA
Uma loja percebe que o lucro diário , em reais, ao vender unidades de um produto, é dado por:
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LANÇAMENTO DE UM PROJÉTIL
A altura , em metros, de um projétil lançado é:
Dadas essas observações, determine:
a) O instante em que o projétil atinge a altura máxima;
b) A altura máxima;
c) O significado físico do vértice.
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PRODUÇÃO AGRÍCOLA
A produção de uma plantação depende da quantidade de fertilizante :
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ÁREA DE UM TERRENO
A área de um terreno retangular depende de uma variável de ajuste :
PARA FINALIZAR, RESPONDA A SEGUINTE PERGUNTA:
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TRAJETÓRIA PARABÓLICA
Ao observar a trajetória de uma bola após a cobrança de um tiro de meta em uma partida de futebol, percebe-se que seu movimento pode ser representado por uma parábola.
Nesse contexto, como a função quadrática pode ser utilizada para determinar a altura máxima atingida pela bola por meio da análise do vértice da parábola?
Nesta seção, você estudou como a função quadrática descreve situações reais e como o vértice da parábola representa pontos importantes, como valores máximos ou mínimos. Esse conceito é fundamental para interpretar problemas de otimização e compreender o comportamento de fenômenos modelados por esse tipo de função. Agora é o momento de consolidar o que foi aprendido em todo o e-book. Na próxima etapa, você encontrará uma seção composta exclusivamente por exercícios, que funcionam como uma avaliação final de todos os conceitos estudados até aqui. Resolva com atenção e de forma autônoma, pois isso permitirá verificar seu nível de compreensão e identificar possíveis pontos que ainda precisam de reforço. Bons estudos!