Rejtélyes szabályos háromszögek

Egy szép elemi geometriai feladat 1941-ből:

Az alábbi feladatot Hujter Mihály fedezte fel. König Dénes jegyzeteiben. Eszerint a feladatot König Dénes és Egerváry Jenő szerkesztette 1941-ben:

85/b Egy körbeírt[i] ABCDEF[/i] hatszög [i]AB, CD[/i] és EF oldala egyenlő a kör sugarával. Bebizonyítandó, hogy a másik három oldal felezőpontjai szabályos háromszöget alkotnak.
(Egerváry K. D.) — 85/b Egy körbeírt ABCDEF hatszög *AB, CD* és EF oldala egyenlő a kör sugarával. Bebizonyítandó, hogy a másik három oldal felezőpontjai szabályos háromszöget alkotnak. (Egerváry K. D.)

Ma már inkább így tűzhetnénk ki ugyanezt a problémát: Egy körbe írt hatoldalú zárt töröttvonal nem szomszédos éleinek a hossza egyenlő a kör sugarával. Milyen kapcsolat van a töröttvonal másik három oldalának a felezőpontjai között? Ez a megfogalmazás talán jobban hangsúlyozza, hogy a körbe írt hatszög önátmetsző is lehet. Ennek a munkalapnak a megírásakor e sorok írója még nem ismerte Martin Gardnernek azt a munkáját, amelyben a probléma még ennél is általánosabb megfogalmazása és annak egy az elemi matematika gyöngyszemének tekinthető megoldása szerepel, amelyet itt tárunk olvasóink elé. Most ennél is általánosabb feladatokat fogalmazunk meg, majd adunk rá elemi megoldást.

A "propeller" feladat

Legyen adott a.) TABΔ, TCDΔ és TEFΔ a sík három; b.) TUVΔ ,TABΔ, UCDΔ és VEFΔ a sík négy; azonos körüljárású szabályos háromszöge. Milyen kapcsolat van a BC, DE, FA szakaszok P, Q, R felezőpontjai között? Könnyen belátható, hogy az a.) feltétel speciális esete b.) -nek, és általánosítása az 1941-ben megfogalmazott feladatnak. Ezt a három feladatot -így együtt - Brian J. McCartin a Mysteries of the Equilateral Trinagle (2010) című könyvében (64. oldal) propeller tételnek nevezte. Ezt az elnevezést minden bizonnyal Martin Gardner használta először. Mi is ezt az elnevezést fogjuk használni, egyetértve a "rejtélyes" jelzővel. Az a.) feladatot tekinthetjük úgy, hogy b.) -nek aT, U, V pontjai egybeesnek. Így az a.) esetben a sík szabadon választható - tetszőlegesen mozgatható -pontjai, T, A C és E, míg b.) esetben ezek köre kibővül az U ponttal. Javasoljuk olvasóinknak, hogy az alábbi applet szabad potjait mozgatva alaposan használják ki ezt a lehetőséget.

Figyeljük meg, hogy ...

a probléma valóban általános. Nem követeljük meg, hogy az adott szabályos háromszögek nem fedhetik egymást. Azt sem, hogy az adott pontok között nem lehetnek egybeesők. Bár nem tartozik a bizonyítandó összefüggéseink közé, de érdemes (érdekes?) megfigyelni, hogy a T=U esetben a T pontot, T≠U esetben a TUVΔ-et mozgatva a PQRΔ-nek csak a helye változik, a mérete, és oldalainak az iránya nem. Először az a.) esetet fogjuk vizsgálni, sőt ehelyett is egy (talán) könnyebben kezelhető konstrukciót építünk fel. Ehhez is készítünk egy segéd feladatot. Ez a könnyebben kezelhető feladat a.)-tól annyiban tér el, hogy a PQRΔ helyett arról a P'Q'R'Δ háromszögről látjuk be, hogy szabályos, amely a PQRΔ -ből egy T centrumú λ=2 arányú nyújtással keletkezik. Azt fogjuk kihasználni, hogy a TBP'C , TDQ'E és TFR'A négyszögek paralelogrammák, függetlenül az adott háromszögek elhelyezkedésétől. Ehhez szükségünk lesz egy segédfeladat megfogalmazására és igazolására. S-1 feladat:

Legyen adott TABΔ és TCDΔ a sík két azonos körüljárású szabályos háromszöge, valamint a TBP'C paralelogramma! Milyen kapcsolat van az A, P' és D pontok között?

Itt csak vázoljuk annak az erős sejtésnek a körültekintő alapos igazolását, miszerint az AP'DΔ szabályos. Ugyanis a paralelogramma aktuális szögeivel, valamint az adott háromszögek 60°-os szögeivel kifejezhetők az ABP'∢, P'CD∢ és DTA∢ előjeles szögek, függetlenül a két adott háromszög kölcsönös helyzetétől. E szögek szárai rendre egyenlők az a =TA és c=TC szakaszokkal, így az ABP'Δ≅P'CDΔ≅ATDΔ relációk az adott sokszögek minden elrendezésében fennállnak. Ezt belátva egy T centrumú 1/λ=1/2 arányú nyújtással kapjuk a szabályos P'Q'R'Δ-ből a PQRΔ-re vonatkozó sejtésünk igazolását.

A fenti applet eredményét felhasználva úgy fogjuk igazolni, hogy a három paralelogramma P' , Q' és R' csúcsai szabályos háromszöget alkotnak, hogy megmutatjuk: a P'Q' szakasz P' körüli 60° -os elforgatottja a P'R' szakasz, függetlenül az adatok megválasztásától. (A forgatás irányának ez előjelét az adott háromszögek körüljárási iránya határozza meg.)

a.) - a "kis" propeller feladat

Az eredeti probléma - általánosabb - b.) változatát megkíséreljük visszavezetni a.)-ra. Ehhez is szükségünk lesz egy - kissé összetettebb - segédfeladatra: S-2 feladat:

Legyen ABCΔ és UVWΔ a sík két azonos körüljárású szabályos háromszöge, továbbá u, v és w a sík egy tetszőleges T pontjából rendre az U, V, W pontokba mutató vektor, amelyek az A, B, C pontokat rendre az A’ B’ C’ pontokba tolják el. Milyen kapcsolat van az A’, B’,C’ pontok között?

Egy kis kiegészítés

Bár a feladat megoldása - szándékunk szerint - egyértelműen nyomon követhető a fenti applet alapján, talán hasznos lehet némi részletezés.

A szabályos háromszögek a ikon alkalmazásával, vagy pl. a Sokszög(A,B,3) paranccsal adhatók meg. A körüljárás irányát a megadott pontok sorrendje határozza meg.
Figyeljük meg, hogy az A'B'C'Δ helyét és irányát a T pont és az az UVWΔ kölcsönös helyzete határozza meg. T egybeeshet az U, V, W pontok bármelyikével is. Hogyan kellett volna megválasztanunk az U, V, W pontokat ahhoz, hogy az A', B', C' pontok egybeessenek?
Hol használtuk ki, hogy a két adott háromszög azonos - az appletben pozitív - körüljárású?

A kérdések megválaszolását olvasóinkra bízzuk.

Még egy...

.. - a fentinél könnyebben áttekinthető - összefüggésre lesz szükségünk. S-3 feladat:

Legyen adott a síkban az u és v vektor, és az AB szakasz F felezőpontja! Legyen A'=Eltolás(A,u) , B'=Eltolás(B,v) és F'=Eltolás(F,(u+v)/2) ! Bizonyítandó, hogy az így kapott F' pont az A'B' szakasz felezőpontja, függetlenül a két vektor és az AB szakasz kölcsönös helyzetétől.

Ennek a belátását is olvasóinkra bízzuk.

b.) - a "nagy " propeller feladat

Ismételjük meg a b.) feladatot az eredetitől kissé eltérő jelölés okán:

Legyen UVWΔ ,UABΔ, VCDΔ és WEFΔ a sík négy azonos körüljárású szabályos háromszöge. Milyen kapcsolat van a BC, DE, FA szakaszok P, Q, R felezőpontjai között?

A sejtés - miszerint a PQRΔ szabályos - az alábbi lépésekre bontva fogjuk belátni:

Felvesszük a sík egy tetszőleges T pontját, majd megadjuk az u,v,w vektorokat, amelyek közös kezdőpontja T, végpontjai rendre a "középső" háromszög U, V, W csúcspontjai.
Az UABΔ, VCDΔ és WEFΔ háromszögeket rendre toljuk el a -u,-v,-w vektorokkal, ezzel előállítva az egymáshoz a közös T pontban csatlakozó három szabályos háromszögből álló konstrukciót.
Erre alkalmazva az a.) kis propeller feladat eredményét, kapjuk az - immár bizonyítottan - szabályos P'Q'R'Δ-et.
Állítsuk elő a p=(u+v)/2, q=(v+w)/2, r=(w+u),/2 vektorokat. Az S-3 segédfeladatra hivatkozva kimondhatjuk, hogy a T pontból kiindulva ezek rendre az UVWΔ háromszög F_p,F_q, F_r oldalfelező pontjaiba mutatnak Az F_pF_qF_rΔ szabályos, mivel UVWΔ is az.
Toljuk el rendre a p, q, r vektorokkal a - bizonyítottan szabályos - P'Q'R'Δ csúcsait a P, Q, R pontokba, amelyekről az S-3 segédfeladat felhasználásával látjuk be, hogy rendre a BC, DE, FA szakaszok felezőpontjai.
A T pontból a szabályos - F_pF_qF_rΔ csúcsaiba mutató p, q, r vektorok, amelyek előállították a P, Q, R pontokat, teljesítik az S-2 segédfeladat feltételeit, így a PQRΔ valóban szabályos.

Q.E.D -vagy ahogy Dugonics András fogalmazott: A'-mi vólt vittatni való.

Nincs királyi út...

Egy feladat megoldásához többnyire hosszas kísérletezés, többszöri átfogalmazás árán juthatunk el. Ez jelen esetben is így volt. Most ezek közül mutatunk egyet, amely ugyan nem vezetett eredményre, azért mégis lett némi hozadéka. Az eddigiekből kitűnt, hogy a nagy propeller-konstrukció lényegében öt szabályos háromszög közötti kapcsolatról szól. Legyen most a PQRΔ rögzített, legyen továbbá A, B, C a sík három mozgatható (de nem feltétlenül különböző) pontja! Ezekből felépíthető az alábbi applet.

Egy újabb probléma:

Amint a fenti appletből láttuk, ha rögzítjük egy szabályos háromszög csúcsait, akkor a további négy egymáshoz csúcsaikban csatlakozó háromszög megadásához három pont megválasztása is elegendő. Felvethető azonban egy újabb kérdés: A rögzített P, Q, R pontok mellé hogyan kell(ene) megválasztanunk az A, B, C pontokat úgy, hogy a kapott négy háromszög ne "ütközzön" egymással, azaz bármely kettőnek ne legyen közös belső pontja? Ez a kérdés komoly -inkább technikai mint matematikai - problémákat vetett fel. Érdeklődőbb olvasóink ezzel kapcsolatban itt juthatnak bővebb információkhoz. Itt csak a kapott eredményt mutatjuk be-

Minden eredmény egy újabb problémát vethet fel.

Pólya György rendkívül hasznos kérdései közól idézzük fel az utolsót: "Nem tudnád alkalmazni az eredményt vagy a módszert valami más feladat megoldására? " Az előző applet fix P, Q, R pontjai egyértelműen meghatároznak egy szabályos háromszögrácsot. Ez ad lehetőséget arra, hogy a három mozgatható ponttal előállítsunk egy olyan - legfeljebb kétszer négy szabályos háromszögből és négy középpontosan szimmetrikus un. affin szabályos hatszögből álló - mozaikot, amelynek az egybevágó példányaival hézagmentesen lefedhető a sík. Meghagyva olvasóinknak az önálló felfedezés örömét, nem tartjuk szükségesnek, hogy az alábbi applet alkalmazásához bármilyen használati útmutatót adjunk.