Von der Sekante zur Tangente - Von der Steigung in einem Punkt zum Steigungsverhalten einer Funktion
RECAP:
In den letzten Stunden haben wir uns mit lokalen Steigungen/Änderungsraten und Tangenten beschäftigt.
Zuvor haben wir mit mittleren oder durchschnittlichen Steigungen/Änderungsraten und Sekanten gearbeitet. Wir haben die zwei Schnittpunkte einer Sekante bzw. die zwei Werte im Differenzenquotienten immer näher aneinander geschoben, sodass wir eine gute Schätzung für die Steigung an einer ganz genauen Stelle x0 erhalten haben
Dafür haben wir als erstes uns den Differenzenquotienten angeschaut.
In diese Formel wurden die neuen Bezeichnungen , , und eingesetzt.
So entstand der Differenzquotient: .
Für unsere Vorgehensweise, bei der wir x immer näher an x0 geschoben haben, gibt es in der Mathematik folgende Schreibweise: .
Man kann die zwei unterschiedlichen Stellen und nun auch wie folgt verstehen: Beide Werte unterscheiden sich ja nur um eine gewisse Zahl bzw. haben einen gewisse Zahl als Unterschied. Mit dieser Idee können wir nun umformen, wobei h eben der Unterschied zwischen und ist. Wollen wir beide Punkte immer näher aneinander schieben, müssen wir das h also immer kleiner werden lassen, sodass wir am Ende praktisch haben.
Setzen wir dies in die Formal oben ein, erhalten wir die Formel für die h-Methode:
Aufgabe 1 (obere Anwendung)
a) Experimentiere mit den Schieberegeln und mache aus der Sekante eine Tangente. b) Beschreibe kurz in eigenen Worten, was in der Grafik passiert, sodass aus der Sekante eine Tangente wird. Was ist der Unterschied zwischen einer Sekante und einer Tangente?
Aufgabe 2 (obere Anwendung)
a) Schau die den Funktionsgraphen genau an. Nenne Bereiche, in denen die Steigung >0 (größer als Null), <0 (kleiner als Null) oder =0 (gleich Null) ist.
b) Nenne Bereiche, in denen der Graph besonders stark steigt oder fällt. Erkläre, woran du das siehst.
c) Überprüfe deine Beobachtungen mithilfe der Tangente.
Aufgabe 3 (obere Anwendung)
a) Ermittle mithilfe der Tangente die Steigungen an den Stellen x0=(-3;-2;-1;0;1;2;3) und trage die Werte in die Tabelle auf dem Arbeitsblatt ein.
b) Trage nun die Wertepaare aus der Tabelle als Punkte in das Koordinatensystem ein.
c) Schaue dir die Punkte im Koordinatensystem an. Formuliere, was dir auffällt.
Vertiefungsaufgabe (untere Anwendung)
a)Überprüfe deine Überlegungen durch weitere Punkte wie zum Beispiel für x0=(-2,5; 1,5 usw.) die durch die Tangenten-Anwendung oben erhältst.
Führe die gleiche Vorgehensweise für durch --> siehe unten