3.6
NB: Questo disegno non è fatto rigorosamente, in quanto la costruzione è comunque analoga a quella fatta per l'esercizio 3.5. L'esercizio 3.5 presenta la costruzione di una circonferenza tangente ad una retta e passante per una determinata corda. Qui si considera l come retta tangente e il segmento PP' come corda , dove P' è il simmetrico di P rispetto alla bisettrice dell'angolo formato da l ed m.
Costruita la circonferenza (con l'esercizio 3.5) tangente ad m e avente corda PP', dobbiamo dimostrare che la circonferenza è tangente ad m.
Il centro della circonferenza deve passare per la retta perpendicolare a PP' passante per il punto medio di PP', cioè h, che è anche bisettrice dell'angolo formato da m ed l.
Considero O sulla retta m tale che il segmento AO è congruente ad AJ.
Valgono: AJ=AO, AH in comune e gli angoli HAO, JAH sono congruenti in quanto h bisettrice. Allora per SAS ho che i triangoli AJH e AOH sono congruenti. In particolare OH è congruente a JH (quindi O sta sulla circonferenza) e gli angoli HOA, HJA sono uguali. Essendo HJA retto, HOA è retto e quindi OH è un raggio perpendicolare ad m in O. Allora la circonferenza trovata è tangente ad m.