Ableitung der Exponentialfunktion
Teil 1: Ableitung der Exponentialfunktion - graphisch
Arbeitsauftrag 1
Bewegen Sie den Punkt mit der Maus entlang des Graphen der Funktion und skizzieren Sie mithilfe der Tangentensteigungen den Graphen der Ableitungsfunktion ins Heft.
Beantworten Sie die Frage:
Welch Art von Graphen erhält man graphisch für die Ableitung einer Exponentialfunktion?
Verschieben Sie erneut den Punkt T und vergleichen die Spur der Steigungsfunktion mit Ihrem Graphen.
Teil 2: Ableitung der Exponentialfunktion - rechnerisch Im Folgenden wird die Ableitung der Exponentialfunktion mit dem Differentialquotienten hergeleitet.
Arbeitsauftrag 2 Bringen Sie die einzelnen Schritte für die Ableitung (im unteren Fenster) in die richtige Reihenfolge und erklären Sie die durchgeführten Schritte.Es gilt
und daraus folgt:
Arbeitsauftrag 3
Übernehmen Sie die Herleitung der Ableitung in Ihr Heft.
Beantworten Sie die folgende Frage:
Welche Art von Term erhält man rechnerisch für die Ableitung einer Exponentialfunktion?
Der Wert für kann für ein beestimmtes zum Beispiel graphisch abgeschätzt oder mithilfe einer Wertetabelle durch Berechnung des Quotienten für Werte angenähert werden.
Teil 3 - Der Spezialfall
Arbeitsauftrag 5
Variieren Sie die Einstellungen für die Basis , indem Sie den Schieberegler bewegen. Untersuchen Sie in Abhängigkeit von Gemeinsamkeiten (oder Unterschiede) des Graphen und des Ableitungsgraphen.
Teil 4: Herleitung der e-Funktion
Arbeitsauftrag 6
Ihnen sollte aufgefallen sein, dass es einen Wert für gibt, sodass Funktionsgraph und Graph der Ableitung identisch sind. Laut Ableitungsfunktion ist das genau dann der Fall, wenn .
Es soll jetzt also eine Näherung für dieses gefunden werden. Befolgen Sie hierfür die Anweisungen im folgenden Applet.
Diese Zahl wurde von Leonhard Euler "entdeckt" und wird daher Euler'sche Zahl genannt.
Es gilt und es handelt sich dabei um eine irrationale Zahl.
Im Buch auf S. 37 oben wird gezeigt, wie sich dieser rechnerisch angenähert werden kann.