Остроъгълна триангулация на тъпоъгълен триъгълник
- Author:
- izomorfizm
Нека ъгъл ACB > 90. CH - височина. HM1 и HM2 - медиани към хипотенузи. Това разделя произволен тъпоъгълен триъгълник на 4 равнобедрени триъгълника - 2 остроъгълни и два тъпоъгълни, т.е. задачата се свежда до триангулиране на равнобедрен тъпоъгълен. Да приемем, че ъгъл AM1H > 90. Вписваме окръжност в тр. AHM1. Построяваме PR и VT допирателни до окръжността в точките където ъглополовящите на триъгълника я пресичат. Тогава тр. APR и тр. HVT са равнобедрени и остроъгълни, понеже 90 > ъгъл HAM1=ъгъл AHM1. В получения петоъгълник имаме, че тр. XPO1, тр. PQO1, тр. QRO1, тр. RSO1, тр. STO1, тр. TUO1, тр. UVO1 и тр. VWO1 са еднакви правоъгълни триъгълници (90, радиус на вписаната окръжност и катет). Тогава ако ъгъл TRO1 = x, то (8*x + ъгъл АМ1H) = 540, т.е. (540 - 8*x) = ъгъл AM1H < 180 => 360 < 8*x => x > 45 => тр. PRO1, тр. RTO1 и тр. TVO1 са остроъгълни равнобедрени триъгълници. Тъй като ъгъл M1PO1 = x > 45 и ъгъл PM1O1 = 1/2 от ъгъл PM1V > (1/2)*90 = 45 (тр. AHM1 е тъпоъгълен) => ъгъл PM1O1 > 45 => тр. PM1O1 и еднаквия му тр. VM1O1 са остроъгълни. Аналогично се разбива на остроъгълни триъгълници и другия посочен в началото равнобедрен триъгълник.