複素関数らしさは微分に伝播する？
１。複素関数は微分できるとは限らない
このワークシートはMath by Codeの一部です。
実数の世界では、y＝f(x)の微分はグラフのx=aからbまでの微小変化に対するｙの微小変化⊿y/⊿x平均変化率をｘ＝ｂをx=aに近づけることで（a, f(a))での傾き、微分係数f'(a)を求める、
それをx=aに限らずｘ全体で実行したときのｘの関数、導関数ｆ'(x)を求めことだったね。
複素数の世界ではｗ=f(z)の微分はｚの微小変化に対するｗの微小変化⊿ｗ/⊿ｚをｚ＝ｂをｚ＝aに近づけることで、極限値、微分係数f'(a)を求める。
それを全体化して導関数ｆ'(x)を求めることだ。大きな決まりは同じだ。
しかし、大きなちがいがある。
ｚ＝bをｚ＝aに近づけるときの経路が一本道ではないことだ。
無数の近づき方があるので、微分できる保証はない。
近づき方によっては、極限値が別になってしまうかもしれないからだ。
また、平均変化率は⊿ｗ/⊿ｚだから、平面での点移動複素数の商だから、
傾きというイメージにはならない。
⊿ｗも⊿ｚも複素数だから、大きさと偏角がある。
そして、その商は回転拡大になっている。だから、傾きというよりは平面をひねってのばず変形度という感じになる。
そこのところをくわしく見ていこう。
＜常識的な曲線＞
経路をさぐるためには曲線が大事になる。
パラメータｔをαからβまで動かした複数z(t)の集まりを曲線という。
しかし、これだけだと、ぺアノ曲線のような正方形を覆いつくすような狂気の曲線も含まれるので、
曲線といえば、なめらかで、自分と交わらないものとしよう。
こういう常識的な閉じた曲線をジョルダン曲線という。
閉じてないにしても、なめらかとか、自分と交わらないという条件は大事だね。
なめらかというのは微分とかかわる。
＜連続とコンパクト＞
領域Dの点aに複素数ｚが近づくとき、f(z)がf(a)に近づくなら、関数ｆ(z)はaで連続という。
aで断絶していたら、zがaに近づいても、f(z)がf(a)とは別の点に近づいたりするからね。
連続だといいことがある。領域Dで関数ｗ＝ｆ（ｚ）が連続なら、Dの部分領域Kがコンパクトなら、
その移った先の動きf(K)もコンパクトでおとなしい。
＜領域Dで正則＞
ｚの関数f(z)が定義域の点ｚ＝aで経路にかかわりなく、極限 が存在するときに
w=f(a)はz=aで微分可能といい、極限値を微分係数といい、f'(a)とかく。
微分係数があれば、z=aで連続だというのは実関数と同じ。
領域Dのすべての点で微分可能なときに、ｆ(z)は領域Dで正則な関数だという。
正則はレギュラーの訳語ですから、ごく普通とか、まともな、ルールを守るというイメージですね。
Dの各点ｚの微分係数f'(a)をｚの関数と考えて、ｆ(z)の導関数という。
・微分演算と和差積商についは、実関数と同じ法則が成り立つ。
(f±g)'=f’±g'、(fg)'=f'g+fg', (f/g)'=(f'g-fg')/g2
（例）
w=z2は微分可能。⊿z→0とするとき、
⊿w/⊿z={(z+⊿z)2-z2}/⊿z=2z + ⊿z→ 2z
zが1+i付近ではwは(1+i)2=2iに近づくね。近づき方がちがうと、近づいた経路の曲線のz=1+i付近での
接線の傾き⊿y/⊿xは異なるね。
しかし、z=1+iの微分係数は2(1+i)だから、近づき方によらず同じ2+2iくらいになるはずだ。
くわしくみてみよう。
aを0から0.1に増やすとき、
・ｘ軸と平行な点z=1+a+iなら、⊿y/⊿x=0で、
⊿w/⊿z={(1.1+i)2-(1+i)2}/0.1=2.1+2i ≒ 2+2 i
・ｙ軸と平行な点z=1+i (1+a) なら、⊿y/⊿x＝無限大で、
⊿w/⊿z={(1+ 1.1 i)2-(1+i )2}/(0.1 i) = 2 +2.1i ≒ 2+2 i
・点z=1+a+i(1+ a)なら、⊿y/⊿x＝1で、
⊿w/⊿z={(1.1+1.1i)2-(1+i)2}/(0.1+0.1i)= 0.42i//(0.1+0.1i)= 4.2i/(1+i)=2.1+2.1i ≒ 2+2 i
このように、ｚ平面での近づく傾き⊿y/⊿x=0を変えても、平面間の増分比、微分係数⊿w/⊿zは一定だ。
1+iは複素数としては45度の左回転だから、ｚ平面のｚ＝1+iの付近の動きがｗで45度左回転して2倍した
動きになるということだね。
一般化すると、ｚ平面の各点ｚの付近の動きがw=f(z)=z2によって、ｗ平面では点はz2に移り、動きは2zになるということだ。
（例）
w=znは微分可能。⊿z→0とするとき、
⊿w/⊿z={(z+⊿z)n-zn}/⊿z=nC1zn-1+nC2zn-2⊿z+.......→ nzn-1
（例）
w=2x+y i は微分不可能。
⊿w/⊿z={2(x+⊿x)+(y+⊿y)i- (2x+yi)}/(⊿x+⊿yi)=(2⊿x+⊿yi)/(⊿x+⊿yi)
⊿x=0,⊿y→0のとき、⊿w/⊿z＝(⊿yi)/(⊿yi)→1
⊿x→0,⊿y=0のとき、⊿w/⊿z＝(2⊿x)/(⊿x)→2
くわしくみてみよう。
aを0から0.1に増やすとき、
・ｘ軸と平行な点z=(1+a)+iなら、⊿y/⊿x=0で、 ⊿w/⊿z={2(1.2+i)-(2*1+i)}/0.2=2
u=2xなので、⊿w/⊿z=⊿u/⊿x=2で、ｚ平面の2倍大きく変動する。
・ｙ軸と平行な点z=1+i (1+a) なら、⊿y/⊿x＝無限大で、⊿w/⊿z={(1+1.1 i )-(1+1i )/(0.1 i) = 1
v=yなので、⊿w/⊿z=⊿v/⊿y=1で、ｚ平面と同じ割合で変動する。
・点z=1+a+i(1+ a)なら、⊿y/⊿x＝1で、
⊿w/⊿z={(2*1.1+1.1i)-(2*1+i)}/(0.1+0.1i)= (2*0.1+0.1i)/(0.1+0.1i)= (2+i)/(1+i)=(2+i)(1-i)/2=2-0.5i
u=2x、v=yなので、ｗ平面はｚ平面よりも横軸だけ2倍大きく変動し、たて軸は同じ割合で変動。
点z=1+i の微分係数の2z=2(1+i)を感じよう。
正則でないから点z=1+i の⊿w/⊿zが変わることを感じよう。
２．C-R-Eでも導関数がだせる。
C-R-Eというのはコーシー・リーマンの方程式の略名だ。
これは領域Dの各点で微分係数が１つになることから導かれる。
つまり、微分可能の目印、導関数の存在条件になっている。正則関数である条件ともいえる。
この等式がすばらしいのは、
存在の保証だけではなく、導関数を計算する道具でもあることだ。
一石二鳥とはこのことだね。
＜コーシー・リーマンの方程式を出そう＞
・CRE条件は、領域Dのz=x+iy に対して
関数w=f(z)=U(x,y) + i V(x,y) のU,Vが連続な偏導関数を持つとき、
fが正則関数であることは、Ux=Vy and Uy=-Vx
が必要十分。
・このとき、正則関数fの導関数f'はUx+i Vxでも、Vy-iUyでも求められる。
（理由）
⊿y/⊿x＝mをいろいろ変えても⊿w/⊿vが同じ定数になる必要がある。
⊿w/⊿v={f(z+⊿z)-f(z)}/⊿v
=[{U(x+⊿x,y+⊿y)+i V(x+⊿x,y+⊿y)}-{U(x,y)+iV(x,y)}]/(⊿x+i ⊿y)
=[{U(x+⊿x,y+⊿y)- U(x,y)}+ i {V(x+⊿x,y+⊿y)-iV(x,y)}]/(⊿x+i ⊿y) (全微分できる）
=[{Ux⊿x+Uy⊿y+εu}+ i {Vx⊿x+Vy⊿y+εv}]/(⊿x+i ⊿y)
→[{Ux+Uy m}+ i {Vx+Vy m}]/(1+i m) (⊿x,⊿y->0ならεu,εv->0,⊿y/⊿x＝m )
=[(Uy +i Vy) m+ (Ux+i Vx)]/(i m+1)
一次分数関数がmにかかわらず一定になる必要十分条件は、
(am+b)/(cm+d)のad-bc=0だから、
(Uy +i Vy) 1 - (Ux+i Vx) i = 0より、(Uy+Vx) + i (Vy-Ux) = 0。言い換えると、
Ux=Vy and Uy=-Vx
・どんなｍでも⊿w/⊿vは求められるので、ｍ＝０とする。
⊿w/⊿v=[(Uy +i Vy) 0+ (Ux+i Vx)]/(i 0+1)=Ux+i Vx
（例）
w=f(z)=z2=(x+iy)2=(x2-y2)+i 2xy
U=(x2-y2), V=2xy
CREから
Ux＝2x=Vy,Vx＝2y=-Uyだから、fは正則関数で、f'=2x+i 2y=2z。
・正則関数の和差積商も正則関数だ。
（理由）
ｆ、ｇが正則関数ならば、領域Dの点ｚでの⊿ｗ/⊿ｖの極限値、微分係数Cf,Cgが存在するはずだ。
それは各点ｚごとに定数だから、その和差積商も定数になる。
だから、正則関数の和差積商も正則関数になることがわかるね。
３．正則関数の導関数を求めよう
＜べき＞
CREをまつまでもなく、(zn)'=nzn-1であることは、上記の１の例から明らかだ。
＜指数＞
w=f(z)=ez=ex+iy=exeyi=ex(cos y + i sin y)とすると、U=Re(w)=excosy, V=Im(w)=exsiny
積の微分公式から
Ux=(ex)'cosy+ex(cosy)'=excosy -ex 0 = excos y
Vy=(ex)'sin y+ex(siny)'=0 cosy +ex cos y=ex cos y
Vx=(ex)'sin y+ex(siny)'=ex siny +ex 0=ex sin y
Uy=(ex)'cosy+ex(cosy)'=0 cosy -ex siny =-ex siny
Ux=Vy,Uy=-Uxとなるから、CREからfは正則関数。
f'=Ux+i Vx=excos y+i ex sin y =f
f'=fとなるから、(ez)'=ez
＜対数＞
z=(r；θ)=x+iy=ewのときに、ｗ＝logz=u+ivとしよう。定義域はｚ≠０の領域。
r =|z|=sqrt(x2+y2) , tan(θ+2nπ)=y/xから、θ+2nπ=tan-1y/x
z=ew＝eueiv=reiθから、r=eu, v=θ+2nπ(nは整数）実対数関数を使ってu=Logrとなるから、
w=logz=(Logr , θ+2nπ)=Log|z|+ i (θ+2nπ)=Log |z|+ i argz= Log sqrt(x2+y2)+i tan-1y/x=U+i V
U=Log sqrt(x2+y2), V=tan-1y/x
微分の連鎖法則から、
Ux=1/ (x2+y2)1/2*1/2*(x2+y2)-1/2 *2x=x/(x2+y2)
Vy=(tan-1y/x)' =1/(1+(y/x)2)*1/x=x/(x2+y2)
Vx=(tan-1y/x)'= 1/(1+(y/x)2)*(-y)/x2=-y/(x2+y2)
Uy=1/ (x2+y2)1/2*1/2*(x2+y2)-1/2 *2y=y/(x2+y2)
Ux=Vy,Uy=-Uxとなるから、CREからfは正則関数。
f'=Ux+i Vx=x/(x2+y2) - i y/(x2+y2) =1/|z| z* = 1/z
(log z)'=1/zとなるね。
＜三角＞
積の微分、合成関数の微分、商の微分、微分の連鎖の公式が複素関数でも成り立つとする。
cos z=(eiz + e-iz)/2、sin z=(eiz - e-iz)/2i、tan z=sin z/ cos z を複素三角関数と定めるとき、
ezはex+iy=exeiy=ex(cosy+icosy)だから、ｚが2πi（虚軸の2π）増えるとyが2π増えて同じになる周期関数で正則関数。eizはｚが2πiのi倍ふえると同じになるから、2πが周期の正則関数。
だから、複素三角関数は正則関数の合成だから、正則関数になるね。
・(cos z)'=[(eiz + e-iz)/2]'=[(eiz )'+ (e-iz)']/2 =[ieiz -ie-iz]/2=-sinz
・(sin z)'=[(eiz - e-iz)/2i]'=[(eiz )'- (e-iz)']/2i =[ieiz +ie-iz]/2i=cosz
ちなみに、cos2z+sin2z=[(eiz + e-iz)/2]2+[(eiz - e-iz)/2i]2=[2(eiz )(e-iz)+2(eiz )(e-iz)]/4=4/4=1
＜双曲線＞
cosh z=(ez + e-z)/2、sinh z=(ez - e-z)/2と複素双曲線関数を定めるとき、
上記の理由で、正則関数になる。
・(cosh z)'=[(ez + e-z)/2]'=[(ez )'+ (e-z)']/2 =(ez -e-z)/2=sinh z
・(sinh z)'=[(ez - e-z)/2]'=[(ez )'- (e-z)']/2 =(ez +e-z)/2=cosh z
ちなみに、cosh2z-sinh2z=[(ez + e-z)/2]2-[(ez - e-z)/2]2=[2(ez )(e-z)+2(ez )(e-z)]/4=4/4=1
４．複素整級数の収束
整級数を複素数に拡張しても、
収束についての議論は同じように成り立つ。
これをざっくり確認しておこう。
＜収束条件＞
コーシーの収束条件確認しよう。
適当なサイズεに対して十分大きい番号ｎをとるとき、
・数列anの収束
番号nの先ではp番目とq番のanの差はサイズεにおさまることが必要十分条件だ。
・級数Σanの収束
番号nの先ではp番目からq番までの部分和の絶対値がはサイズεにおさまることが必要十分条件だ。
数列anの絶対値|an|の級数が収束するなら、もとの数列anの級数は収束する。
これを絶対収束という。
・関数列fn(z)の一様収束
番号nの先では、任意の領域Dの中のｚについてp番目とq番のｆn(z)の差はサイズεにおさまることが必要十分条件だ。関数列fn(z)がｆ(z)に収束すれば、f(z)は連続関数だ。
＜関数の級数の収束＞
関数項級数Σfn(z)が（広義）一様収束する条件（これはワイヤストラスのM判定）
収束する正項Mnの級数ΣMnと関数項の級数Σfn(z)を比べるとき
領域Dにおいて|fn(z)|≦Mnがn0より大きいｎに対して成り立つこと。
複素定数anと複素変数ｚでできる関数項の級数Σanznを整級数（べき級数）という。
整級数の収束半径Rが０でないなら、開円板|z|＜Rで、この整級数は広義一様絶対収束する。
絶対値の級数も収束するから。この開円板（収束域）に円周をつけた図形を収束円という。
この収束域で、ｆ(z)＝Σanznを定義すると、f(z)は連続関数で、正則となる。
だから、各項が微分できるから、(Σanzn)'=Σ(nanzn-1)となる。
ez,cosz,sinzのテーラー展開は整級数だ。収束半径を∞にして
複素正則関数ez,cosz,sinzを整級数を使って定義することもできるね。