Homotopía
Esta actividad pertenece al libro de GeoGebra Correcaminos (bip, bip).
En la construcción de la actividad anterior, el punto C=c(p) es el punto de parámetro (de recorrido) p de la curva c(t). Ahora bien, mientras que el parámetro p varía siempre entre 0 y 1, el parámetro t de la curva c(t) puede variar entre dos valores arbitrarios t1 y t2 (por ejemplo, entre -π y 3π).
En este libro GeoGebra necesitaremos más adelante (para calcular el vector normal a una superficie en un punto dado) encontrar el valor de t que corresponde al valor de p. Es decir, necesitaremos una transformación lineal del intervalo [0, 1] en el intervalo [t1, t2]. Sea h(x) = a x + b esa transformación. Entonces ha de cumplirse que t1 = a 0 + b y que t2 = a 1 + b. Por lo tanto, la transformación buscada es h(x) = (t2 - t1) x + t1. Esta transformación transforma el valor p en el valor (t2 - t1) p + t1.
Veamos un modo más rápido y natural de llegar al mismo resultado. Cuando p valga 0, (1 - p) valdrá 1, y viceversa. Así que la transformación:
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En la siguiente construcción puedes ver algunos ejemplos (en ellos también hemos usado la homotopía para transformar un color en otro). Puedes ver otros ejemplos de homotopía en estos libros GeoGebra de José Manuel Arranz y Juan Carlos Ponce Campuzano. La homotopía es un recurso muy usado en GeoGebra para conectar de modo natural dos curvas, creando una superficie que las una (como el vaso de la construcción, de base elíptica y boca circular). En este libro solo la usaremos, como ya hemos adelantado, para llevar el intervalo [0, 1] al intervalo [t1, t2].
(1 - p) t1 + p t2
pasará de modo continuo del valor t1 (cuanto p=0) al valor t2 (cuando p=1). Este razonamiento no solo vale para valores en una dimensión, sino que es igualmente válido para cualquier dimensión. Si A y B son puntos (de cualquier dimensión), la siguiente transformación pasará de modo continuo del punto A al punto B:(1 - p) A + p B
Podemos sustituir los puntos A y B por curvas o por superficies. Esta transformación resulta básica para pasar de modo continuo de un objeto al otro. Es tan importante que tiene nombre propio: homotopía lineal.
En la siguiente construcción puedes ver algunos ejemplos (en ellos también hemos usado la homotopía para transformar un color en otro). Puedes ver otros ejemplos de homotopía en estos libros GeoGebra de José Manuel Arranz y Juan Carlos Ponce Campuzano. La homotopía es un recurso muy usado en GeoGebra para conectar de modo natural dos curvas, creando una superficie que las una (como el vaso de la construcción, de base elíptica y boca circular). En este libro solo la usaremos, como ya hemos adelantado, para llevar el intervalo [0, 1] al intervalo [t1, t2].Autor de la actividad y construcción GeoGebra: Rafael Losada.