Multiplicadores de Lagrange.
Máximos y mínimos ligados.
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Máximos y mínimos absolutos para funciones de una variable en un intervalo cerrado.
El estudio de los máximos y mínimos absolutos de funciones continuas de una variable en un intervalo cerrado , que son diferenciables en el interior de , puede resumirse del siguiente modo. (Nos restringimos al estudio del máximo absoluto).
(1) Encuentre los puntos críticos de en y halle el valor máximo de en ellos,
(2) Compare dicho valor máximo con los valores de en y , es decir con los valores de en el borde del y determine cuál es el mayor.
Dejando de lado cuán fácil o difícil puede ser realizar el paso (1), (1)-(2) conforman la estrategia usual para hallar el máximo absoluto de .
Ejemplo. Halle el máximo absoluto de en . Hallamos los puntos críticos en : resultando solamente ya que no está en . Calculamos , . Por otro lado y . Por lo tanto el máximo absoluto se alcanza en el borde, en .
Máximos y mínimos absolutos para funciones de varias variables en un compacto.
Para funciones continuas de varias variables en un compacto y que son diferenciables en el interior del compacto, el procedimiento (1)-(2) es válido como estrategia general:
(1) Halle los puntos críticos de en el interior de y determine el valor máximo de en ellos.
(2) Halle el valor máximo de en el borde de y compare dicho valor con el máximo hallado en (1).
Dejando de lado lo fácil o difícil que pueda ser ejecutar el paso (1), en el paso (2) tenemos un problema que no encontramos anteriormente y que no está presente para funciones de una variable: el problema de hallar el máximo de una función restringida a un borde.
Consideremos funciones de dos variables . También consideremos dominios compactos , que son la clausura de un abierto y tal que su borde es una curva al menos diferenciable a trozos. Por ejemplo, puede ser un rectángulo junto a la región que encierra o una elipse junto a la región que encierra, aunque hay total libertad por lo demás.
Hay dos estategias básicas para determinar el máximo de una función restricto al borde del dominio compacto. La primera es parametrizar el borde por secciones (curvas) y estudiar el máximo de las correspondientes funciones de una variable. La segunda es usando multiplicadores de Lagrange.
Veamos un caso de la primera opción.
Ejemplo. Se pretende hallar el máximo absoluto de en el borde del rectángulo . Cada lado del cuadrado es una sección del borde que puede ser parametrizada:
(i) ,
(ii) ,
(iii) ,
(iv) .
La función restricta a los lados (i) y (iv) es cero. Por otro lado la función restricta a los lados (ii) y (iii) es, como función de , igual a que tiene como máximo el valor . Por lo tanto el valor máximo de restricto al borde es igual a y se alcanza en el punto .