Criterio de diferenciabilidad de funciones y regla de la cadena.
Criterio suficiente para la diferenciabilidad de funciones de varias variables. Introducción a la regla de la cadena.
Criterio suficiente para la diferenciabilidad de funciones.
El siguiente criterio es de uso común cuando se trata de verificar que cierta función de varias variables es diferenciable en un punto o en cada punto de un abierto.
Teorema 1. Sea una función definida en un abierto de . Si todas las derivadas parciales de existen y son continuas en , entonces es diferenciable en cada punto de .
Lo importante aquí es que cada una de las derivadas parciales debe poder calcularse en cada punto del dominio y que la función resultante debe ser continua en . Por ejemplo, si la función es de dos variables, , entonces, para que el criterio se aplique, tanto como deben existir en cada punto de y deben ser continuas como funciones de en .
Ejemplo. La función , definida en (que es abierto), tiene derivadas parciales,
que son claramente continuas en todo . Por lo tanto es diferenciable en cada punto de .
Prueba del Teorema 1. Sin pérdida de generalidad hacemos la prueb para fuciones de dos variables . Debemos probar que el resto,
cumple,
Sumando y restando escribimos,
Recordemos ahora el Teorema del valor medio o Teorema de Lagrange, que vamos a usar en la expresión anterior un par de veces. Teorema del valor medio: Sea una función continua y derivable en . Entonces existe un valor medio tal que,
Usamos el Teorema del valor medio para la función de una variable (la variable ),
(asumimos que pero (A) debajo vale en cualquier circunstancia) para concluir que para cierto , tenemos,
que se traduce en,
(A)
De igual manera,
(B)
Usamos (A) y (B) en la fórmula del resto obtenemos,
Dividiendo por arribamos a,
(C)
Observamos que, y cuando . Como por hipótesis las derivadas parciales son continuas, ambos términos en paréntesis tienden a cero cuando tiende a . Por otro lado,
Combinando ambas observaciones concluimos que el lado derecho de (C), y por lo tanto el izquierdo, tienden a cero cuando . Esto termina la prueba del teorema.
Regla de la cadena.
Para funciones de una variable, la regla de la cadena da la conocida expresión para la derivada de la función compuesta ,
(1)
Para funciones de dos variables la regla de la cadena da la derivada de la función compuesta ,
(2)
Más en general, para funciones de n-variables, la regla de la cadena da la derivada de la función compuesta ,
(3)
Ejemplo. Sea , y sean y . La composición de dichas funciones es,
Para hallar la derivada de hay dos opciones:
(a) Derivar directamente la expresión explícita , obteniendo,
(b) Usar la regla de la cadena. Para ello primero calculamos,
Por lo tanto,
Usando este cálculo en (2) obtenemos,