Funciones racionales y funciones irracionales
- Autor:
- profeDomingoHely Perez
- Tema:
- Funciones
Funciones racionales
Funciones racionales son funciones de la forma donde P(x) y Q(x) son polinomios. Es decir, es la razón entre los polinomios P(x) y Q(x).
Una función racional se puede escribir como .
Asíntotas de una función
Asíntotas de una función son rectas a las cuales la función se aproxima indefinidamente.
Las asíntotas pueden ser verticales, horizontales u oblicuas. Las dos últimas, horizontales y oblicuas, son mutuamente excluyentes.
Las asíntotas verticales son rectas cuya expresión es de la forma x = k.
Las asíntotas horizontales son rectas cuya expresión es de la forma y = k.
Las asíntotas oblicuas o inclinadas son rectas cuya expresión es de la forma y = mx + b.
En esta sección se analizan gráficamente cuatro formas de la función racional, clasificadas con el grado de los dos polinomios. Numerador, P(x); Denominador, Q(x):
1. P(x) de grado cero y Q(x) de grado uno. Grado de P(x) menor que el grado de Q(x)
2. P(x) de grado uno y Q(x) de grado uno. Grado de P(x) igual al grado de Q(x)
3. P(x) de grado uno y Q(x) de grado dos. Grado de P(x) menor que el grado de Q(x)
4. P(x) de grado dos y Q(x) de grado uno. Grado de P(x) mayor que el grado de Q(x)
Se presentan en forma consecutiva los 4 applets y al final se hacen algunas consideraciones.
Algunas consideraciones con el análisis gráfico de las funciones racionales:
1. La función f(x) no está definida cuando el denominador se hace cero, es decir, f(x) no está definida en las raíces o ceros del denominador. Muestre la gráfica del denominador Q(x)
2. En los valores de x en los cuales f(x) no está definida, le corresponde una asíntota vertical (x = k).
3. Si el grado de P(x) es menor que el grado de Q(x), la recta y = 0 es una asíntota horizontal. Analizar casos I y III.
4. Si el grado de P(x) es igual al grado de Q(x), la recta es una asíntota horizontal, siendo a1 y a2 los coeficientes respectivos de mayor grado de P(x) y Q(x). Analizar el caso II.
5. Si el grado de P(x) es una unidad mayor que el grado de Q(x), existe una asíntota oblicua, recta de la forma y = mx + b. Analizar caso IV. La ecuación de la asíntota oblicua equivale al cociente de P(x) y Q(x).
Funciones irracionales
Funciones irracionales, también llamadas funciones radicales, son funciones en las cuales su expresión matemática incluye un radical: donde g(x) es una función polinómica o una función racional.
Algunas características de las funciones irracionales:
- Si el índice m del radical es par, el dominio está definido para g(x) 0.
- Si el indice m del radical es impar, el dominio son todos los números reales.
- Es continua en todo su dominio si g(x) es una función polinómica.
A continuación se analizan gráficamente dos casos o formas de función irracional.
La primera es de la forma siendo g(x) = a x. Se muestra la gráfica de la función inversa de f(x) que corresponde a media parábola. La gráfica de f(x) y su inversa son simétricas con respecto a la recta diagonal y = x (función identidad).
La segunda función analizada es de la forma siendo para m = {2, 3, 4}. Se puede apreciar que si el índice m es par, (2 o 4), la gráfica queda en la parte positiva de Y pero no siempre desde cero.