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Sección 1.2 - Teorema de Ceva

Conceptos importantes

Antes de trabajar con los teoremas de esta sección, definiremos dos conceptos importantes:
  1. Ceviana: El segmento que une un vértice de un triángulo a cualquier punto en su lado opuesto.
  2. Concurrente: Tres líneas o segmentos son concurrentes si todas pasan por un punto .

Teorema de Ceva

Si tres cevianas , y , cada una a través de un vértice del triángulo , son concurrentes, entonces: . Demostración: Observemos la siguiente figura:
Para probar este Teorema, debemos recordar que las áreas de triángulos con álturas iguales son proporcionales a las bases de los triángulos. Observando la figura, tenemos: Y similarmente, y (¡Demuéstrelo!) Ahora, si multiplicamos cada proporción, obtenemos: Notamos que esto es cierto ya que los términos del numerador "cancelan" con los términos del denominador.

Recíproco del Teorema de Ceva

Si tres cevianas , y satisfacen entonces son concurrentes. Demostración: Supongamos que las primeras dos cevianas se intersecan en el punto P, y que la tercera ceviana que pasa por ese punto es . Entonces, por la primera parte del Teorema: . Pero estamos asumiendo que Por lo tanto, , en donde coincide con , lo que nos demuestra que , y son concurrentes.