Sección 1.2 - Teorema de Ceva
Conceptos importantes
Antes de trabajar con los teoremas de esta sección, definiremos dos conceptos importantes:
- Ceviana: El segmento que une un vértice de un triángulo a cualquier punto en su lado opuesto.
- Concurrente: Tres líneas o segmentos son concurrentes si todas pasan por un punto .
Teorema de Ceva
Si tres cevianas , y , cada una a través de un vértice del triángulo , son concurrentes, entonces:
.
Demostración: Observemos la siguiente figura:
Para probar este Teorema, debemos recordar que las áreas de triángulos con álturas iguales son proporcionales a las bases de los triángulos. Observando la figura, tenemos:
Y similarmente,
y (¡Demuéstrelo!)
Ahora, si multiplicamos cada proporción, obtenemos:
Notamos que esto es cierto ya que los términos del numerador "cancelan" con los términos del denominador.
Recíproco del Teorema de Ceva
Si tres cevianas , y satisfacen
entonces son concurrentes.
Demostración:
Supongamos que las primeras dos cevianas se intersecan en el punto P, y que la tercera ceviana que pasa por ese punto es . Entonces, por la primera parte del Teorema:
.
Pero estamos asumiendo que
Por lo tanto, , en donde coincide con , lo que nos demuestra que , y son concurrentes.