Eigenwertaufgaben

Im vorigen Abschnitt haben wir uns mit Gleichungssystemen und deren Lösbarkeit befasst. Sowohl für das nächste Kapitel zu den Differentialgleichugnen als auch in der Quantenphysik werden diese eine wichtige Rolle spielen. Insbesondere werden wir uns mit der Lösung von homogenen Gleichungssystemen befassen. Bei Eigenwertaufgaben geht es um die Eigenschaft von Matrizen, Abbildungen von Punkten im mehrdimensionalen Raum auf Punkte in demselben Raum darzustellen. Man fragt sich hier, ob es bei dieser Abbildung Punkte gibt, bei denen der Ortsvektor zum Original zum Ortsvektor zum Bild kollinear ist. Das heißt, man sucht nach Vektoren und , für die es ein gibt, so dass ist. Im Applet finden Sie im Hintergrund die Darstellung einiger Vektoren aus dem Vektorfeld, das durch die Abbildung auf die Punkte mit den Ortsvektoren entsteht. Mit den Schiebereglern können Sie die Abbildungsmatrix ändern. Den Punkt am Ende des Vektorpfeiles von ziehen Sie, um zu beobachten, wann und in die gleiche Richtung zeigen.

Die in der Einleitung erwähnte Bedingung führt zu einem Gleichungssystem:

.

Dieses System ist homogen. Das bedeutet: Wenn es vom Nullvektor verschiedene Vektoren geben soll, die bis auf einen Faktor auf sich selbst abgebildet werden, dann muss die Determinante der Koeffizientenmatrix null sein. Das führt zur Gleichung . Sie ist quadratisch und hat die Lösungen und , die durchaus komplex sein können. Die beiden Zahlen heißen Eigenwerte der Matrix . Sie werden sehen, dass sich zumindest in der gewählten Darstellung nur für reelle Werte die gesuchten Vektoren eintragen lassen. Somit besitzt jede quadratische Matrix einen Satz Eigenwerte. Alle Vektoren, die nun das Gleichungssystem nach Einsetzen eines der Eigenwerte lösen, heißen Eigenvektoren der Matrix. Im Applet habe ich eine Koordinate auf eins festgelegt und die andere anhand der verbleibenden Gleichung berechnet. Das Ergebnis ist je ein Beispieleigenvektor zu den berechneten Eigenwerten. Ziehen Sie den Endpunkt des Pfeils von auf eine der Geraden. Sie werden sehen, dass der Bildvektor in die gleiche oder entgegengesetzt gleiche Richtung zeigt. Sind die Eigenwerte komplex, so wird der Bildvektor nirgends in die gleiche Richtung zeigen.