Θεωρία
- Author:
- Nikolas Tsimplis
Αξιωματική Θεμελίωση του R
Το σύνολο των πραγματικών αριθμών το χρησιμοποιούμε καθημερινά με πολλαπλούς τρόπους έχοντας σχηματίσει μέσα στους αιώνες μια συγκεκριμένη άποψη για αυτό. Εδώ θα θεμελιώσουμε το σύνολο αυτό αξιωματικά.
Αρχικά ονομάζουμε σύνολο των πραγματικών αριθμών ένα μη κενό σύνολο που το συμβολίζουμε με
το οποίο το εφοδιάζουμε με μια πράξη που την ονομάζουμε πρόσθεση ,μια πράξη που την ονομάζουμε πολλαπλασιασμό , μια σχέση ολικής(γραμμικής) διάταξης και που ταυτόχρονα ικανοποιεί τα παρακάτω αξιώματα.
Αξιώματα της Πρόσθεσης
A1)(Αντιμεταθετική ιδιότητα)
A2) (Προσεταιριστική ιδιότητα)
A3) (Ουδέτερο στοιχείο)
A4) (Ύπαρξη αντιθέτου)
Αξιώματα του Πολλαπλασιασμού
A5)(Αντιμεταθετική ιδιότητα)
A6) (Προσεταιριστική ιδιότητα)
A7) (Ουδέτερο στοιχείο)
A8) (Ύπαρξη αντιθέτου)
Αξίωμα που συνδέει την πρόσθεση με τον πολλαπλασιασμό
A9) (Επιμεριστική ιδιότητα του πολ/μού ως προς την πρόσθεση)
Αξιώματα ΔιάταξηςA10)ισχύει ένα από τα τρία :(Αξίωμα Τριχοτομίας)
A11)
A12)[math]\forall x,y\in\mathbb{R},x,y>0\Longrightarrow xy>0
A13)
Αξίωμα της Πληρότητας