Konfokale Darboux Cycliden 1-teilig 2
Diese Aktivität ist eine Seite des geogebra-books Moebiusebene 14. August 2020
Dieses Applet ist wahrscheinlich überfrachtet: Die Koeffizienten für die Cyclide0 sind in der Start-Einstellung so gewählt, dass - die konfokalen Cycliden gut zu erkennen sind - die doppelt-berührenden Kugeln animiert angezeigt werden können - die Fokal-Kurven konstruiert und animiert zu erkennen sein sollten. Dazu sollten die 3*4 Brennpunkte fixiert sein:
f'sfix !
Die Cyclide0 wird mit den Höhenlinien kontouriert, da wir keine Parametrisierung der Fläche kennen.
1-teilige DARBOUX Cycliden besitzen 3 paarweise Symmetriekugeln, im Applet oben sind dies die Koordinatenebenen.
Durch jeden Punkt des Raumes, von den Brennpunkten abgesehen, gehen genau 3 paarweise orthogonale Cycliden der konfokalen Schar.
Die Koordinatenebenen gehören zu dieser Schar konfokalen Cycliden, die -Ebene ist zudem Symmetrie-Ebene:
- hieraus folgt: die Cycliden der Schar lassen sich eindeutig den Scheiteln auf der -Achse zuordnen.
Auch diese konfokalen Cycliden werden durch ihre Höhenlinien erkennbar.
In den Grenzlagen , , und gehen die Cycliden gegen doppelt-belegte Flächenstücke, welche durch einteilige bizirkulare Quartiken berandet werden: das sind die Fokal-Kurven.
Die Schnittpunkte dieser Fokal-Kurven mit den Cycliden sind die "Brennpunkte" auf den Cycliden.
In diesen "Brennpunkten" verschwinden die Kreise auf den Cycliden!
Man vergleiche hierzu die Aktivität Konfokale Quadriken.
Fokal - Kurven: in jeder Symmetrie-Ebene liegt eine Fokalkurve. Scheitel sind 4 der 12 Brennpunkte, Brennpunkte sind die jeweils anderen Brennpunkte, die in der Ebene liegen!
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Doppelt-berührende Kugeln:
Einteilige bizirkulare Quartiken besitzen 2 Scharen doppelt-berührender Kreise: eine liegt außen, eine innen. Zu den Schnittkurven der Cyclide mit den Koordinatenebenen gehören also jeweils 2 Scharen doppelt-berührender Kugeln.
Einige dieser Kugelscharen liegen ganz außerhalb, einige ganz innerhalb der Cyclide. Die anderen schneiden die Cyclide in Kreisen.
Es ist leider nicht sehr deutlich zu sehen, dass zu den Kreisscharen dieselben Kreise gehören: wir vermuten, dass 1-teilige Cycliden nur 2 verschiedene Kreisscharen besitzen, im Falle einer Rotationssymmetrie sogar nur eine.
In der Aktivität circles on darboux cyclides 1-sheet sind die Kreise animiert zu sehen.
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Formeln
Eine DARBOUX Cyclide mit 3 - aber nicht mehr - Symmetriekugeln ist entweder eine Quadrik, falls ein doppelt zählender Brennpunkt existiert, oder eine 1-teilige Cyclide. Eine solche kann nach geeigneten Möbiustransformationen durch folgende Gleichung beschrieben werden:
- mit reellen
- , also ; entsprechend ,
- mit