A Thalesz tétel alkalmazása

1. példa Szerkesszünk adott körhöz adott külső pontra illeszkedő érintőt.
Megoldás Mivel az érintési pontba húzott sugár merőleges az érintőre, azért Thalész tételéből adódóan a kör O középpontját az adott P külső ponttal összekötő szakasz mint átmérő fölé rajzolt kör metszi ki az érintési pontot az adott körből.  Mivel az OP szakasz fölé írt Thalész-kör két pontban metszi az adott kört, ezért két megfelelő érintőt kapunk.
Image
A szerkesztés menete: 
Image
1.Az OP szakasz F felezőpontjának szerkesztése.
2.Az F középpontú, OF = FP sugarú kör megrajzolása. A két kör metszéspontjai E 1 és E 2 .
3.A PE 1 és PE 2 egyenesek megrajzolása.
érintőszakaszokA PE 1 és PE 2 szakaszokat érintőszakaszoknak nevezzük.A megoldás alapján PE 1 = PE 2 , ezzel beláttuk a következő tételt:
Tétel: A körhöz külső pontból húzott érintőszakaszok egyenlő hosszúak.
2. példa Bizonyítsuk be, hogy a háromszög egy oldalának két végpontja és az ezekből induló magasságok talppontjai egy körre illeszkednek.
Megoldás Emlékeztetünk arra, hogy a háromszög magasságának talppontja a magasságvonal és a megfelelő oldal egyenesének metszéspontja.  Az ABT a és ABT b háromszögek olyan derékszögű háromszögek, amelyeknek közös átfogója a háromszög AB oldala. Ezen két derékszögű háromszög körülírt köre Thalész tételének megfordításából adódóan ugyanaz a kör, nevezetesen az AB oldal mint átmérő fölé írt Thalész-kör.  A példa állítása tehát a Thalész-tétel megfordításának következménye.
Image
3. példa Bizonyítsuk be, hogy a derékszögű háromszögbe beírt kör átmérőjének hossza a két befogó hosszának összegénél az átfogó hosszával kisebb.
Megoldás Az 1. példa megoldása során bebizonyítottuk, hogy a körhöz külső pontból húzott érintőszakaszok egyenlő hosszúak. CE 1 = CE 2 = r ; E 2 A = AE 3 = x ; E 3 B = BE 1 = y . A két befogó hosszának összege: a + b = x + y + 2 r . (1) Az átfogó hossza: c = x + y . (2)(2)-t (1)-be helyettesítve kapjuk, hogy 2 r = a + b – ca + b = c + 2 r , és ezt akartuk bizonyítani.
Image