relativistische Geschwindigkeitsanzeige
- Autor:
- Fausto Cochetti
- Thema:
- Geometrie
relativistisches Tachometer
Die Zeiger geben die Geschwindigkeit eines beliebigen inertialen Bezugsystems gegenüber dem System P an.
Das Tachometer ruht in P.
Richtung des Zeigerpfeiles von P nach F ist auch Richtung der Geschwindigkeit v_FP von F gegenüber P
Die Länge des Zeigers entspricht dem Betrag der Geschwindigkeit von F wie sie in P gemessen wird.
Ähnlich für X.
F und X, zwei Punkte im Tachometer, sind die Geschwindigkeiten zweier (beliebiger) Bezugsysteme F und X gemessen in P.
Man kann die Punkte F und X im Diagramm bewegen und beliebige Geschwindigkeiten einstellen.
Der äußere Rand soll nie berührt werden er entspricht der Grenzgeschwindigkeit, die für Inertialsysteme unerreichbar weit ist.
Aus diesen zwei Geschwindigkeiten, die im Tachometer längen- und winkeltreu abgebildet werden,
wird nun der Betrag der relativen Geschwindigkeit von X gegenüber F berechnet.
mit der Formel :
relmod(x,y, φ)= 1 / (1 - x y cos(φ)) sqrt(x² + y² - 2x y cos(φ) - x² y² sin(φ)²)
(siehe dazu z.B. "Фок В.А. Теория пространства времени и тяготения")
Dieser Wert verhält sich wie eine relativistische Invariante und ist daher in jedem
Bezugszstem gültig und gilt somit sowohl für v_XF als auch für v_FX.
Im Tachometer wird ein schwarzer Pfeil von F nach X gezogen, er entspricht der relativen Geschwindigkeit von X gegenüber F,
wie sie im Tachometer erscheint: mit den vom relativistischen Additionsgesetz verzerrten Winkel und Länge.
(mit einem Lineal und einem Winkelmesser kann man Betrag und Richtung vom Tachometer nicht direkt ablesen)
Die unverzerrten Winkel in F und X können aber mit dem Sinussatz berechnet werden.
relsin(x,y,φ)= sin(φ) (x sqrt(1 - y²)) / (y sqrt(1 - x²))
Die Geschwindigkeit von X gegenüber F mit dem so berechneten Winkel, der in F gemessen wird, ist mit einem grünen Pfeil dargestellt.
Dieser Vektor hat Länge und Winkel der Relativgeschwindigkeit von X, wie sie in F erscheint,
er gehört aber nicht zum Tachometer.
Das gleiche nochmal für X
Der Winkelfehler, deuted darauf hin, daß die relativen Geschwindigkeiten von X gegen F und von F gegen X nicht entgegengesetzt sind
Fausto Cochetti