Prodotto
- Autore:
- F. Manzo
Per visualizzare il prodotto tra i numeri complessi rappresentati dai punti A e B nel piano, conviene iniziare a scegliere A e B di "modulo" 1, ossia sulla circonferenza goniometrica. Spunta la casella di controllo "Prodotto" nel foglio di lavoro. Il punto C rappresenta il prodotto tra A e B.
Poniamo l'attenzione sull'angolo che il segmento OA forma con l'asse reale (che è quello delle ascisse), e sugli angoli analoghi individuati da B e da C. Prova, muovendo i punti A e B sulla circonferenza goniometrica, ad individuare la relazione che lega gli angoli α,β e γ in figura.
Come si vede, γ≡α+β. Il prodotto di due numeri complessi di modulo uno, si interpreta allora come somma degli angoli che individuano i vettori.
E' facile trasformare questa "legge empirica" in un teorema.
Basta un po' di trigonometria per dimostrarla:
.
E' facile vedere che moltiplicando numeri complessi di modulo diverso da uno, la legge per gli angoli rimane la stessa, mentre il modulo di C è il prodotto dei moduli di A e di B: il modo più semplice è scrivere i numeri complessi nella loro "rappresentazione polare", ossia nella forma
,
dove rappresenta la distanza del punto dall'origine e rappresenta l'angolo che individua il punto, contato in senso antiorario a partire dall'asse reale. (fai un disegno)
Osserva che se A e B sono coniugati, il prodotto AB è reale, e che elevare al quadrato un numero complesso di modulo uno vuol dire farlo ruotare raddoppiandone l'angolo.