Distribuzione di carica NON uniforme: es 19 cap 27 (Halliday)
- Autore:
- Ilaria
- Argomento:
- Analisi, Funzioni, Calcolo integrale
Introduzione
Finora, sfruttando il teorema di Gauss in combinazione con la definizione di flusso di campo elettrico
abbiamo studiato campi elettrici generati da distribuzioni simmetriche e uniformi di carica, determinando quindi in maniera diretta la carica interna come prodotto tra la densità volumica di carica e il volume occupato dalla distribuzione uniforme di carica V
Dal momento che i campi elettrici generati da distribuzioni simmetriche di carica sono contraddistinti da linee di campo radiali, con intensità proporzionale alla distanza dal centro della distribuzione, potevamo determinare facilmente il flusso complessivo del campo, moltiplicando il valore di E(r) per l'area superficiale rispetto a cui E(r) fosse ortogonale
ottenendo direttamente una formulazione del campo elettrico in funzione di r:
La combinazione di diverse configurazioni ci ha infine costretti a definire talvolta tale funzione a tratti, senza particolari difficoltà.
Quello che non abbiamo mai approfondito è come la formulazione del campo elettrico potesse cambiare se la densità di carica non fosse stata uniforme, ma variasse in funzione della distanza r.
Problema
Vogliamo ora risolvere un problema che riguarda il campo elettrico generato da una distribuzione spaziale non uniforme di carica: il problema n° 19 tratto dal capitolo 27 del libro di testo Fondamenti di Fisica 2 di Halliday, Resnick, Walker.
Un lungo cilindro pieno non conduttore di raggio 4,0 cm ha una densità di carica volumica disuniforme , funzione della distanza radiale r dall’asse del cilindro: .
Calcolare il modulo del campo elettrico alla distanza (a) r = 3,0 cm e (b) r = 5,0 cm, sapendo che la costante A vale 2,5 .
Visto che dipende direttamente dal quadrato del raggio r, se voglio rispondere al quesito (a) sarà necessario determinare la carica interna al cilindro di raggio 3,0 cm, anteponendo la ricerca del valore medio .
Perciò non basterà moltiplicare (3,0 cm) per il volume del cilindro di raggio 3,0 cm, perché questo vorrebbe dire imporre che, se il cilindro avesse tale raggio, la sua densità sarebbe costante e pari a (3,0 cm), contraddizione con quanto affermato dal testo.
Per questo motivo è necessario utilizzare il teorema della media o, analogamente, il significato fisico dell'area del sottografico della densità volumica in un intervallo opportunamente scelto.
Teorema della media
Il teorema della media afferma che, data una funzione y=f(x) continua sull'intervallo [a,b], il valor medio di tale funzione nell'intervallo [a,b] è dato dal rapporto tra l'area sotto al grafico di f, compresa tra le rette x=a e x=b, e la lunghezza dell'intervallo [a,b].
In altre parole, se una grandezza fisica dipende da un'altra, come nel nostro caso la densità volumica dipende dal quadrato del raggio, è possibile ricavare il valore medio di tale grandezza variabile, per un determinato intervallo di valori del quadrato del raggio, come rapporto tra l'area sotto al grafico di compresa nell'intervallo di valori del quadrato del raggio scelto e la lunghezza dell'intervallo stesso:
Quindi quello che faremo sarà proprio determinare tale valore negli intervalli di utili, e sarà geogebra ad aiutarci a determinare tale valore medio.
Nei casi più banali la determinazione del valore medio della funzione è altrettanto semplice.
Si pensi ad esempio al caso di una funzione costante lungo un intervallo di valori: il suo valor medio sarà la funzione stessa. Per questo motivo, se la densità di carica è costante, il suo valore viene utilizzato direttamente nello stabilire la carica complessiva interna ad una distribuzione spaziale di carica.
Svolgimento
Ci limitiamo a fornire una risoluzione completa del quesito (a), lasciando al lettore il compito di sfruttare quanto compreso per risolvere anche il (b).
Dal momento che viene richiesto il valore di campo elettrico E a distanza di 3,0 cm dall'asse del cilindro, scegliamo come superficie gaussiana di riferimento un cilindro di raggio 3,0 cm e altezza h, coassiale con la distribuzione di carica.
Il raggio della distribuzione di carica è maggiore di 3,0 cm, pertanto S è completamente immersa nella distribuzione di carica.
Dalla definizione di flusso di E lungo S si ha:
Infatti lungo le basi del cilindro S il flusso del campo è nullo, essendo E parallelo alle basi.
Dal teorema di Gauss so che dove visto che la distribuzione di carica non è uniforme e essendo S un cilindro.
Pertanto
Risulta quindi necessario, a questo punto dello svolgimento, determinare il valore medio di densità volumica internamente al cilindro di raggio 3,0 cm, utilizzando il teorema della media sulla funzione e nell'intervallo [0; 9,0 ].
Studio grafico della densità
Soluzione
Nello studio grafico della funzione appena mostrato, abbiamo determinato il valore medio come rapporto tra l'area sotto al grafico e la lunghezza dell'intervallo fissato.
Poiché la densità dipende direttamente dal quadrato del raggio, risulta banale ricavare l'area del triangolo, ma si deve fare attenzione nella scelta dell'intervallo: infatti, poiché la variabile indipendente è il quadrato del raggio, siamo interessati al valore che tale funzione può assumere tra un valore di raggio nullo () e un valore di raggio pari a 3,0 cm ()
In ogni caso, il valore medio della densità volumica di carica in tale porzione di spazio, è pari a
A questo punto, riprendendo la formulazione del campo E, determinata precedentemente, si avrà:
Osservazioni utili al punto (b)
E' ovviamente possibile sfruttare lo stesso grafico per determinare la densità volumica media di carica utile nel quesito (b).
Si noti che nel caso (b) la distanza alla quale si vuole studiare il campo elettrico E è pari a 5,0 cm, valore maggiore del raggio della distribuzione spaziale di carica.
Pertanto è importante studiare la nuova formulazione del campo, tenuto conto di questa osservazione.
Ad ogni modo, quando sarà richiesta la densità volumica di carica relativa al cilindro di raggio 4,0 cm, risulterà necessario adeguare lo studio grafico al nuovo raggio di 4,0 cm ().