konfokale Quadriken
- Autor:
- Walter Füchte
- Thema:
- Kreis, Komplexe Zahlen, Körper, Kugel, Oberfläche
Diese Aktivität ist eine Seite des geogebra-books Moebiusebene 22. Juli 2020
Mittelpunkts-Quadriken sind möbiusgeometrisch spezielle DARBOUX-Cycliden: ist ein doppelt-zählender Brennpunkt, und sie besitzen 3 Symmetriekugeln - üblicherweise sind dies die 3 Koordinatenebenen. Konfokale Quadriken sind durch ihre Brennpunkte charakterisiert. Sie bilden eine Quadrikschar mit den Gleichungen- mit fest gewählten mit .
wie von oben 
-, so gehen die räumlichen
Quadriken gegen doppelt-belegte Kegelschnitt-Flächen, deren Ränder die Fokal-Kegelschnitte sind.
Bei ist das eine Ellipse in der -Ebene mit den Brennpunkten und den Scheiteln .
Bei erhält man eine Hyperbel in der -Ebene mit den Scheiteln bei und den Brennpunkten bei .
Betrachtet man die Schnittkurven der konfokalen Quadriken - es sind dies die Krümmungslinien auf den einzelnen Quadriken,
- so erkennt man, dass sie orthogonal oder „parallel“ zueinander verlaufen;
und man sieht deutlich Brennpunkt-ähnliche Punkte auf den Quadriken:
in diesen Punkten schneiden die Fokal-Kegelschnitte die Quadriken!
In diesen Punkten „verschwinden“ die Kreise auf den Quadriken:
- auf den Ellipsoiden verschwinden die Kreise im Schnitt mit der Fokal-Hyperbel,
- auf den 2-teiligen Hyperboloiden verschwinden die Kreise im Schnitt mit der Fokal-Ellipse,
- auf den 1-teiligen Hyperboloiden verschwinden die Kreise in : dies ist ein mehrfach-zählender Brennpunkt
und zugleich ein Quadrik-Punkt!
Wir haben im Applet die Höhenlinien mit eingeplant, obwohl sie für Quadriken eigentlich unnötig für die Darstellung sind.
Leider können wir bisher in geogebra die DARBOUX-Cycliden weder als Implizite Flächen, noch durch Parameterdarstellung
präsentieren, wir behelfen uns dort mit den Höhenlinien.
Wir würden für die Parameterdarstellung der Quadriken auch gerne die Kreisscharen auf den Quadriken nutzen,
das steht noch aus!
Noch interessanter wäre eine Parameterdarstellung längs der Krümmungslinien: das sind die Schnittkurven mit den
orthogonalen Quadriken. Von welcher Art sind diese Kurven? Bizirkulare Quartiken können es nicht sein:
bizirkulare Quartiken entstehen als Schnitt einer Kugel mit einer Quadrik. Die Krümmungslinien entstehen als Schnitt
zweier orthogonaler Quadriken mit denselben Brennpunkten. Sie erzeugen ein orthogonales Kurvennetz wie die
konfokalen Kegelschnitte oder die konfokalen bizirkularen Quartiken in der Ebene.
Analytisch handelt es sich im ebenen Falle um die Lösungskurven elliptischer Differentialgleichungen, wenn die Nullstellen,
also die Brennpunkte, eine spezielle Lage besitzen: konzyklisch oder spiegelbildlich auf 2 orthogonalen Kreisen,
oder zusammenfallend.
Man erkennt auch auf den konfokalen Quadriken "Brennpunkte": das sind die Punkte, in denen die Kreise verschwinden.
Es ist zu vermuten, dass es zu den elliptischen Differentialgleichungen in der komplexen Ebene ein räumliches Pendant gibt:
"Brennpunkte" oder "Brennlinien" sind dann die Nullstellen einer solchen Differentialgleichung!