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Cassini-Quartiken: Die Formeln

Autor:Walter Füchte

Diese Seite ist Teil des GeoGebra-Books Moebiusebene (Mai 2021)

 In einer Schar konfokaler bizirkularer Quartiken mit 4 verschiedenen Brennpunkten liegen genau 2 Möbius-Transformierte CASSINI-Kurven. In der Schar 2-achsiger konfokaler Kegelschnitte liegt eine CASSINI-Kurve; es ist die einzige gleichseitige Hyperbel der Kegelschnittschar. Invertiert ist es eine Bernoulli-Lemniskate. CASSINI-Kurven werden charakterisiert durch eine implizite Gleichung des Typs:
  • , und .
Diese Kurven sind das multiplikative Pendant der Kegelschnitte mit Gärtner-Konstruktion: . Mit den folgenden Formeln sollen diese CASSINI-Kurven rechnerisch ermittelt werden. Sämtliche Formeln lassen sich eins-zu-eins im Applet oben testen: die geometrischen Ergebnisse der Formeln werden im Appplet weiß dargestellt! Den Bezeichnungen ist ein "t" vorangestellt.

Formeln

Bizirkulare Quartiken in Normalform:
  • mit und
Die Quartiken sind für Scheitelpunkte auf den Achsen: und , und es ist umgekehrt: und . Scheitelpunkte auf dem Einheitskreis: Brennpunkte: Mit berechnet man die komplexen Brennpunkte . Die -Funktion in geogebra rechnet für reelle Radikanten reell, d.h. ein negativer Radikant ergibt als Ergebnis ?. Mit dem "Trick" rechnet geogebra dankenswerterweise komplex: mit der obigen Formel werden auch die Brennpunkte auf der -Achse und sogar die Brennpunkte auf dem Einheitskreis berechnet, sofern sie existieren! Als Test variiere man und . Übrigens: Für erhält man invertierte Kegelschnitte: der Ursprung ist ein doppelt-zählender Brennpunkt.
Konfokale bizirkulare Quartiken in Normalform: Durch jeden Punkt der Ebene , von den vorgegebenen Brennpunkten abgesehen, gehen genau 2, zueinander orthogonale Quartiken der Schar konfokaler Quartiken! Die Symmetrie-Kreise, das sind die Achsen und gegebenenfalls der Einheitskreis, gehören zur Schar. Daher geht durch jeden Scheitelpunkt auf einer Achse eine weitere Quartik. Es kann allerdings sein, dass auf diese Weise Quartiken, welche die Achse nicht schneiden, nicht erfasst werden: bei konfokalen Kegelschnitten mit Brennpunkten auf der -Achse schneiden die Hyperbeln die -Achse nur in . Sind die Brennpunkte fest vorgegeben, so ist ebenfalls bestimmt und für die Koeffizienten der "C"onfokalen Quartiken gilt die Beziehung: . Ist irgendein Punkt vorgegeben, so lassen sich die Koeffizienten aus der Gleichung durch Lösen einer quadratischen Gleichung berechnen. Die 2 Lösungen ergeben 2 orthogonale Quartiken durch den Punkt . Man teste dies mit dem Punkt tS!
Geometrisches: Brennpunkte, Brennkreise und doppelt-berührende Kreise; Leitkreise Die Brennpunkte sind die Nullstellen der elliptischen Differentialgleichung: . Jeder Symmetrie-Kreis, auf dem nicht alle Brennpunkte liegen, zerlegt die Brennpunkte in symmetrisch-liegende Brennpunkt-Paare. Für geht dies auf 3 verschiedene Weisen, jeweils liegen 2 Kreisbüschel vor. Durch jeden Punkt geht aus jedem Büschel genau ein Brenn-Kreis. Die Quartiken durch sind Winkelhalbierende dieser 2 Brenn-Kreise durch . Die Symmetriekreise dieser beiden Brenn-Kreise sind doppelt-berührende Kreise der Quartiken. Der 2.te Berührpunkt ist der Symmetrie-Punkt bezüglich der zugrundeliegenden Spiegelung. Für muß eines der beiden durch die gegenüberliegenden Brennpunkte definierten Kreisbüschel elliptisch, das andere hyperbolisch sein. Die Quartiken sind wieder Winkelhalbierende dieser Brenn-Kreise. Die doppelt-berührenden Kreise sind wieder die Symmetrie-Kreise der Brenn-Kreise. Im Fall der invertierten Kegelschnitte () mit den Brennpunkten f,f'=-f und dem doppelt-zählenden Brennpunkt f34=0 kann man das elliptische ( oder das hyperbolische) Kreisbüschel-Paar) mit den Grundpunkten f, f34 bzw. f', f34 zugrunde legen - oder das elliptische Kreisbüschel durch f,f' und ein achsenparalleles parabolisches Kreisbüschel durch f34. Die doppelt-berührenden Kreise finden sich wie oben. Leitkreise: Man zeichne einen der Brennpunkte aus. Spiegelt man diesen an den doppelt-berührenden Kreisen einer Quartik und einer Schar, so erweist sich die Spur dieser Spiegelpunkte als Kreis: dies ist der zugehörige Leitkreis. Den Leitkreis kann man mit Hilfe der Scheitelkreise leicht konstruieren, er ist stets symmetrisch zur Hauptachse, bzw. geht durch die gegenüber-liegenden Brennpunkte (). Umgekehrt kann man aus den Punkten des Leitkreises die Quartik konstruieren.

Bestimmung der CASSINI-Kurven

Den CASSINI-Kurven in der Schar konfokaler bizirkularer Quartiken kann man sich auf mehrere Arten nähern: I) : CASSINI-Kurve als Bild eines Kreises unter der komplexen Wurzel-Abbildung: Die Gleichung
läßt sich für reelles deuten als Kreisgleichung in mit Mittelpunkt , d.h. die CASSINI-Kurve entsteht aus diesem Kreis unter der Wurzelabbildung. Der Abgleich mit der Quartik-Gleichung ergibt: und , also . Vorgegeben sind die Brennpunkte, daher ist festgelegt. Aus der quadratischen Gleichung berechnet man: oder . Es bleibt noch, aus die Scheitel zu ermitteln: - Für liegt der Kreis in der rechten Halbebene, Mittelpunkt ist , Radius ist . Der Kreis ist orthogonal zum Einheitskreis. Das Bild unter der Wurzel-Funktion ist eine 2-teilige CASSINI-Kurve. - Für berührt der Kreis die -Achse im Urprung. Das Bild ist eine BERNOULLI-Lemniskate, invertiert erhält man eine gleichseitige Hyperbel. - Für schneidet der Kreis den Einheitskreis in , das Bild unter der Wurzel-Funktion ist eine 1-teilige CASSINI-Kurve. Die 2. CASSINI-Kurve der Schar erhält man: - für durch Spiegelung am Kreis . Dabei werden die -Achse und der Einheitskreis vertauscht, - für gibt es keine 2. CASSINI-Kurve, - für tausche man die Rolle von - und -Achse, der abzubildende Kreis geht durch , der Mittelpunkt ist , die Wurzel-Abbildung ist .
Bestimmung der CASINI-Kurven mit Hilfe der Leitkreise in Arbeit bla

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