Sezione aurea di un segmento - Geometria e Algebra
Esplora la costruzione passo a passo della sezione aurea di un segmento, poi mettiti alla prova con l'attività interattiva visualizzata sotto l'app, ed infine scopri come si calcola il valore del "numero d'oro" , che è una delle costanti matematiche fondamentali.
Ora tocca a te!
Al termine della costruzione, utilizza lo strumento Distanza e misura la lunghezza del segmento AB e del segmento AC. Muovi i punti A e B e rileva le misure che ottieni. Crea una tabella contenente alcune misure di AB, le corrispondenti misure di AC e il rapporto tra tali misure. Cosa osservi?
Algebra - Calcolo della sezione aurea
Traduciamo in termini algebrici la proporzione che definisce la sezione aurea.
Siano la lunghezza del segmento , e la lunghezza della sezione aurea .
Allora .
Riscriviamo la proporzione in termini algebrici, e otteniamo .
Il prodotto dei medi è uguale al prodotto degli estremi, quindi .
Questa è un'equazione di secondo grado: svolgiamo i calcoli, riordiniamo in forma normale e risolviamo, ottenendo .
Poiché la soluzione si riferisce alla lunghezza di un segmento, deve essere positiva. Scartiamo la soluzione negativa e raccogliamo a fattor comune, quindi .
Abbiamo quindi calcolato la sezione aurea di un segmento lungo unità.
Calcoliamo ora il rapporto aureo .
- Riduciamo la frazione, moltiplicando il numeratore per l'inverso del denominatore e semplificando il risultato
- Razionalizziamo e semplifichiamo: .