Trabajo final
Problema
Construye el triángulo ABC con AC como hipotenusa y de perímetro 12 unidades. Parametriza los lugares geométricos que permiten hallar la solución (para que puedan colocar las intersecciones donde se cumplen las 2 condiciones, que el triángulo es rectángulo y con perímetro de 12 unidades)
Construcción
Construcción paso a paso
- Con la herramienta “Segmento de longitud dada”, crea un segmento que mida exactamente 12 unidades
- Selecciona la herramienta “Punto” y coloca dos puntos sobre el segmento: C situado entre A y B pero sin llegar al punto medio y D, ubicado entre C y B.
- Con la herramienta "Compás" selecciona los puntos C y D, y cuando aparezca la circunferencia, trasládala para que su centro coincida con A.
- Repite el proceso, ahora eligiendo los puntos D y B y una vez generada la circunferencia, sitúala sobre el punto C.
- Marca las intersecciones entre ambas circunferencias con la herramienta correspondiente.
- Cambia a la herramienta “Lugar geométrico” y traza el recorrido del punto E conforme se mueve el punto D (primero selecciona E y luego D).
- Si aparece un trazo con forma de semi-elipse, significa que la construcción va bien. Realiza el mismo procedimiento para el punto F.
- Con la herramienta “Polígono”, selecciona los puntos A, C, E, y vuelve a A para cerrar el triángulo.
- Repite lo mismo con el punto F, generando otro triángulo por debajo del eje x.
- Cuando desplaces el punto D, observarás que E y F cambian de posición. Estos triángulos representan todos los triángulos posibles con perímetro 12.
- Para limpiar la vista, oculta las circunferencias creadas: clic derecho - Propiedades - desactiva “Mostrar objeto”.
- Con la herramienta punto medio, selecciónala sobre A y C para obtener el punto G.
- Usa la herramienta “Circunferencia: centro–punto”, elige G como centro y extiende hasta C.
- Esto genera la circunferencia que describe todos los puntos que forman triángulos rectángulos con hipotenusa AC.
- Ajusta la vista para que esta circunferencia intersecte la elipse formada previamente.
- Para trazar la elipse habrá que sacar la ecuación. Para ello, la ecuación general de una elipse con eje mayor horizontal y centro en (h,k) es: ( (x-h)²/ (a²) ) + ( (y-k)²/(b²) )=1. En la construcción de arriba consideramos que los focos eran los siguientes: A(-6,0) y C(-1,0), por lo que el centro es G(-3.5,0). Al sustituir estos datos en la fórmula y simplificar, se obtiene la ecuación concreta de la elipse: 6x²+12.25y²+42x=0 .
- Escribe la ecuación en la barra de entrada de GeoGebra para que aparezca la elipse completa y puedas marcar las intersecciones con la circunferencia.(En caso de que ya hayas desbloqueado la herramienta de elipse puedes saltar la parte de sacar la ecuación, seleccionar la herramienta de elipse y marcar como focos A y C. )
- Usa la herramienta intersección para marcar los puntos donde la circunferencia y la elipse se cruzan. Esas posiciones indican exactamente dónde el triángulo tiene perímetro 12 y además es rectángulo.
- Para destacarlos, selecciona los puntos de intersección, entra a Propiedades- Color y cambia el color a tu preferencia.
Instrucciones de Chat GPT
Instrucciones para que un alumno construya la solución en GeoGebra
1. Construcción de la hipotenusa AC
- Selecciona la herramienta “Punto” y coloca dos puntos cualesquiera sobre la vista gráfica. Nómbralos A y C.
- Elige la herramienta “Segmento entre dos puntos” y une A con C. Este será el lado fijo y la hipotenusa del triángulo.
- Selecciona la herramienta “Distancia o longitud” y verifica la longitud AC.
- El punto B debe cumplir que AB + BC = 12 – AC.
Para construir los lugares geométricos:
- Elige la herramienta “Compás”.
- Haz clic en A, luego escribe en la entrada:
12 – distancia(A, C)(Geogebra admite expresiones) - Esto genera un círculo que representa todos los puntos B donde AB + AC = 12.
- Repite ahora con centro C y la misma medida:
12 – distancia(A, C). Los puntos que pertenecen a ambas circunferencias simultáneamente cumplen que: AB + BC = 12 – AC, que equivale a AB + BC + AC = 12. → Estos puntos forman una elipse con focos A y C.
- Selecciona la herramienta “Punto medio” y crea el punto G entre A y C.
- Con la herramienta “Circunferencia: centro–punto”, elige G como centro y C como punto sobre la circunferencia. Esto crea la circunferencia de Thales, donde todos los puntos B producen un triángulo rectángulo con AC como hipotenusa.
- Ajusta la vista para que la circunferencia de Thales y la elipse se intersecten.
- Selecciona la herramienta “Intersección” y marca los puntos donde ambas curvas se cruzan.
- Estos puntos representan exactamente los puntos B del triángulo tales que:
- El triángulo es rectángulo,
- Y su perímetro es 12 unidades.
- Selecciona los puntos de intersección y, en Propiedades → Color, cámbialos para destacarlos.
Dieferencias y similitudes entre mi construcción y la de Chat GPT
La construcción del Chat es incorrecta o las instrucciones están mal planteadas. Al seguir las instrucciones no logré llegar a nada, no se formó una elipse y el segmento puede moverse libremente. El archivo que me generó está en blanco y tampoco pudo generar una imagen de más o menos como debe de verse.
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