算額アーカイブ
和算家たちはすでに発見していただろうけど・・・この３つの円は３：４：５になっている。さらに・・・
この問題は算額としてとても良い問題
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この問題の元の算額
この問題は具体的であるからいろいろな現象が現れてくる。
和算の問題として典型的である。
【術に曰く】
△ABCの内接円の半径をRとする。
「内接円の術」を用いて、Rを辺で表す。
(AK＋KB)＋(KBー4＋CJ)ー(CJ+28+AK)＝2R なので
KB＝R＋16とわかる。
KB-4=BHなのでBH=BJ=R+12。
CD＋DBーCB＝32…①, AD＋DB－AB＝24…②, AB＋BC－AD－CD＝２R…③
①＋③ AB+DB-AD=2R+32 ②＋③ BC+DB-CD=2R+24。
△AKQ∽△ABCなので、BC:KQ=AB:(AB-BD+AD)/2。
KQ=(BC*AB-BC*BD+BC*AD)/2AB 一方、相似よりBC*AD=AB*BD, AB*DC=BC*BDなので
KQ=(BC+BD-CD)/2
=R+12と求まる。
よって、QE=QF=Rなので、△EQI≡△QEL。
鉤股弦(ピタゴラス)の定理でRの値を求めることができる。
R＝２０と求まるので、他の辺の長さも比で求まる。
結論を言えば、この３つの直角三角形は相似だから、３つの内接円も相似で三平方の定理が使える。
算額の作者もこの考えで解いている。
これは一般化できるだろうか。⇒Aを動かしてみよう。
和算入門
直角三角形についての和算家たちの発見した様々な性質が面白い。