coördinatensysteem
- Auteur:
- chris cambré
In 3D kan je de positie van een punt P bepalen in een driedimensionaal coördinatenstelsel. Dat kan met cartesische coördinaten (x, y, z) waarin de coördinaatsgetallen x, y en z af te lezen zijn op de drie assen.
Je kunt de positie ook bepalen met bolcoördinaten (r, θ, φ).
- Het eerste coördinaatsgetal r bepaalt de afstand van een punt P tot de oorsprong.
De volgende coördinaten θ en φ zijn hoeken, maar let op: verschillende disciplines gebruiken verschillende conventies op deze hoeken te bepalen. GeoGebra gebruikt volgende conventies:
- Het tweede coördinaatsgetal θ bepaalt de hoek in het Oxy-vlak.
- Het derde coördinaatsgetal φ bepaalt de hoek tussen het lijnstuk OP en het Oxy-vlak.
In de natuurkunde wordt de volgorde tussen de twee hoeken omgewisseld. Ook wordt bij het bepalen van bolcoördinaten soms niet de hoek met het Oxy-vlak gemeten, maar de hoek met de verticale z-as.
In volgend applet zie je hoe een punt P eenduidig bepaald wordt in beide coördinatensystemen.
Het verband tussen beide systemen wordt gegeven door:
x = r cos φ . cos θ
y = r cos φ . sin θ
z = r sin φ
coördinaten van punten in het 3D-tekenvenster
Net zoals in het 2D-tekenvenster kan je in het 3D-tekenvenster de afzonderlijke coördinaatgetallen van een punt P definiëren als een afzonderlijk getal.
- de cartesische coördinaten van een punt P worden bepaald als (x(P), y(P), z(P)). met x(P), y(P) en z(P) creëer je aparte getallen voor de coördinaten van het punt P.
- sferische coördinaten: P wordt bepaald als (abs(P); arg(P); alt(P)). abs(P) bepaalt de afstand van de oorsprong tot het punt P arg(P) bepaalt in het xOy vlak de hoek tussen de x-as, de oorsprong en het punt (x(P), y(P), 0). alt(P) bepaalt de verticale hoek tussen het punt (x(P), y(P), 0), de oorsprong en het punt P.
In 3D the position of a point P is defined in a three-dimensional coordinate system. You can define its position using Cartesian coordinates (x, y, z), in which x, y and z can be read on the three axes.
A second system to define the position uses spherical coordinates (r, θ, φ).
- The first coordinate r defines the distance between a point P and the origin.
The coordinates θ and φ are angles, but note that different disciplines use different conventions to do so. The conventions used by GeoGebra are:
- The second coordinate θ defines the angle in the xOy plane.
- The third coordinate φ defines the angle between the segment OP and the xOy plane.
In physics the order between the two angles is reversed. Moreover the angle φ can as well be defined with regard to the vertical axis instead of the xOy plane.
In the applet above you can see how the position of a point P is defined in both systems.
Both systems are linked with following formulas:
x = r cos φ . cos θ
y = r cos φ . sin θ
z = r sin φ
coordinates of points in the 3D-graphics
As in the 2D-Graphic one can define the values of the coordinates of a point in the 3D-Graphis as separate number objects.
- cartesian coordinates of a point P are defined as (x(P), y(P), z(P)). with x(P), y(P) and z(P) you create number objects for the coordinates of point P.
- spherical coordinaten: P is defined with (abs(P); arg(P); alt(P)). abs(P) defines the distance between the origin and the point P arg(P) defines in the xOy-plane the angle between the x-axis, the origin and the point (x(P), y(P), 0). alt(P) defines the vertical angle between the point (x(P), y(P), 0), the origin and the point P.