Derivabilitat d'una funció definida a trossos

Per estudiar la continuïtat d'una funció definida a trossos, cal valorar la continuïtat a cada interval i en els punts límits de l'interval. En el cas dels límits de l'interval cal estudiar els límits laterals en aquests punts i comprovar que tenen el mateix valor que la imatge en el punt. En cas que no tinguin el mateix valor, la funció seria discontínua en aquest punt i segons els valors dels límits estaríem parlant d'una discontinuïtat evitable, de salt o asimptòtica.
  • Si el límit per l'esquerra en el punt i el límit per la dreta en el punt valen el mateix que la imatge del punt; la funció és contínua en aquest punt.
  • Si el límit per l'esquerra en el punt i el límit per la dreta en el punt valen el mateix, però diferent que la imatge del punt; la funció té una discontinuïtat evitable en aquest punt.
  • Si els límits laterals en el punt són diferents i finits, la funció té una discontinuïtat de salt en aquest punt.
  • Si algun dels límits laterals en el punt és infinit, la funció té una discontinuïtat asimptòtica en el punt.
Ara, perquè la funció sigui derivable en un punt, la funció ha de ser abans contínua en aquest punt. I en aquest cas les derivades laterals en el punt han de ser iguals; o el que és el mateix, el límit dels pendents de la recta tangent per la dreta i per l'esquerra ha de ser el mateix. Una altra forma de visualitzar la derivabilitat de la funció, és amb el gràfic de la derivada, aquesta ha de ser contínua en tot l'interval.
Visualitzeu la continuïtat i derivabilitat de la funció movent els paràmetres a i b.