El tir parabòlic
- Autor:
- Raül Fernández
Tir parabòlic
Cap a finals del segle XV la societat tenia plantejats importants problemes pràctics: de navegació, tecnològics, contables... Resoldre aquests problemes va ser un dels motors que va permetre un avenç ràpid en les matemàtiques renaixentistes i posteriors.
Un d'aquests problemes era el tir parabòlic. La trajectòria d'un projectil, llançat amb certa velocitat i amb un angle d'inclinació determinat, es veu afectada per l'acció de la gravetat. Trobar les lleis matemàtiques que regeixen el moviment dels projectils va ser una tasca en la que es van embarcar grans matemàtics, com Tartaglia i Galileu.
En aquesta aplicació manipularem un petit canó que llença pilotes de tennis. Es tracta d'investigar com depèn el el resultat del llançament de l'angle d'inclinació del canó (angle de tir) i de la velocitat en la que s'impulsa la pilota. Determinarem la trajectòria de la pilota, l'altura màxima i l'abast, és a dir, la distància des del punt de llançament fins al punt on la pilota toca al terra.
Preguntes
1. Selecciona la posició “Llançar” i modifica al teu gust la velocitat i l'angle d'inclinació, amb els controls de la part superior. Observa els resultats. Quin tipus de trajectòria segueix la pilota? Si es modifica la velocitat de llançament o l'angle de tir, canvia la trajectòria de la pilota? Com influeixen la velocitat i l'angle de tir en la trajectòria?
2. Activa les caselles de “Abast” i “Altura màxima”. Fixa la velocitat a 10 m/s (pots variar el valor amb més precisió clicant a sobre el lliscador i fent servir les tecles ← i → dels cursors). Ara ves variant l'angle de tir. Amb quin angle obtens l'abast màxim? Per a aquest angle, quina és l'altura màxima que pren la pilota?
3. Repeteix el mateix procés, amb velocitats de 7 m/s, 9 m/s, 12 m/s... Obtens el mateix resultat en tots els casos? Escriu les teves conclusions. Quin és l'abast del canó, és a dir, quina és la màxima distància a la que podem llançar la pilota?
4. Prem el botó “Reinicia valors”. Activa la casella “Mostra l'objectiu”. Selecciona una velocitat de 10 m/s i activa el “llançar”. Amb quin angle assoliràs l'objectiu? (Quan la pilota caigui dins el cistell, veuràs el rètol “Bàsquet !!”. Pots haver-hi més d'una possibilitat de fer bàsquet? Trobes alguna relació entre aquests angles i l'angle de màxim abast (el que has calculat a la pregunta 2)?
5. Canvia ara la velocitat a 12 m/s i col·loca la cistella a 10 m del canó (pots fer-ho arrossegant a un punt una mica a l'esquerra del cistell) Determina els dos angles amb els quals la pilota cau dins el cistell. Si coneixem un dels angles, com podríem calcular l'altre, sense fer la simulació? Comprova aquest càlcul per a altres casos.
6. Situa ara la cistella a una distància de 8,5 m del canó. Podem assolir la cistella amb una velocitat de 8 m/s? A aquesta distància, quina ha de ser la velocitat mínima per assolir l'objectiu?
7. Prem el botó “Reinicia valors”. Activa la casella “Mostra gràfica”, i la de “punts notables”. Què representen aquests punts en la paràbola? Quin significat pràctic tenen les coordenades d'aquests punts en el context del problema?
8. Quina ha de ser la velocitat, amb un angle de tir de 65º, per tal que la paràbola talli l'eix OX en el punt (6,0)? Quines són les coordenades del vèrtex de la paràbola? Quin significat pràctic tenen aquests valors?
9. Troba l'angle de tir i la velocitat amb les quals el vèrtex de la paràbola es situa en el punt (4, 3.21) Quin és l'abast del canó en aquestes condicions?
10. Activa l'equació. Fixa l'angle de tir a 45º, modifica ara la velocitat. Què és el que canvia en l'equació? Quin efecte tenen aquests canvis en l'arc visible de la paràbola?
11. Prem el botó “Reinicia valors”. Selecciona un angle de tir de 45º i una velocitat de 8.86 m/s i activa les caselles “Mostra gràfica” i “Punts notables”. Amb l'origen i els dos punts notables tens les dades necessàries per trobar l'equació de la paràbola. Troba-la i comprova el teu resultat activant la casella “Mostra equació”
12. Troba l'equació de la paràbola quan l'angle de tir és de 45º i la velocitat de 10.85 m/s. Comprova el teu resultat.
13. Troba l'angle de tir i la velocitat amb les quals la paràbola té per equació y=-0.2x^2+x
Indica el vèrtex i els punts de tall de la paràbola amb l'eix OX.