Sinusfunktion am Einheitskreis
- Author:
- Fr. Malewski
- Topic:
- Unit Circle
Dieses dynamische Arbeitsblatt führt dich vom alten Sinusbegriff am rechtwinkligen Dreieck zu einem verallgemeinerten Sinusbegriff und zur Sinusfunktion.
1.
Begründe, warum die Länge der roten Strecke gerade der Sinus des
Winkels α ist.
Tipps:
Lass dir mit dem Kontrollkästchen ein rechtwinkliges Dreieck einblenden.
Der Radius des Einheitskreises ist 1. (Deshalb heißt er ja so)
2.
Zieh nun den Punkt A auf der Kreislinie weiter, bis ein Winkel > 90° entsteht. Nun ist der Winkel α kein Innenwinkel des rechtwinkligen Dreiecks mehr. Dennoch wagen wir folgende ...
... Definition für einen erweiterten Sinusbegriff:
Als Sinuswert für Winkel >90° wird einfach die y-Koordinate des Punktes A genommen. (Allerdings nicht bezogen auf das eingezeichnete Koordinatensystem sondern auf das des Einheitskreises. Du kannst es dir mit dem entsprechenden Kontrollkästchen anzeigen lassen.)
(Dies entspricht genau der Länge der roten Strecke a, bedeutet allerdings, dass die Sinuswerte negativ werden, sobald der "Uhrzeiger nach unten zeigt")
Du kannst dir die Sinuswerte mit dem entsprechenden Kontrollkästchen auch anzeigen lassen.
3.
Nun soll eine Funktion aufgestellt werden, die jedem Winkel im Bogenmaß den zugehörigen Sinuswert zuordnet (Die Sinus-Funktion)
a)
Dazu übertragen wir die Bogenlänge b auf die X-Achse (Siehe grüne Linie). Der Punkt B läuft also alle Winkelwerte auf der X-Achse ab (Probiere es aus: Bewege Punkt A)
b)
Nun tragen wir die Sinuswerte, die zum eingestellten Winkel gehören als y-Werte ab: Wir hängen einfach die Strecke a an den Punkt B. (Aktiviere das Kontrollkästchen "a über B abtragen" und beweg wieder den Punkt A.) Bei verschiedenen Einstellungen des Zeigers liefert der Punkt A' nun Wertepaare (x|y) bzw. (Winkel|zugehöriger Sinuswert), die auf dem Graphen der Funktion liegen, die wir suchen. Alle Versionen von A' gemeinsam bilden also den Funktionsgraphen.
c)
Stell dir nun vor beim Punkt A' wäre ein Stift. Was für eine Linie würde er ins Koordinatensystem zeichnen? (Öffne mit Rechtsklick auf Punkt A' das Kontextmenü und klicke auf "Spur an". Bewege erneut den Punkt A.)
4.
Zeichne nun ein "Zeigerdiagramm" (Einheitskreis mit Zeiger, rechtw. Dreieck, farbig gekennzeichnete Sinus-Strecke) in dein Heft.
Achseneinteilung: 1 LE = 5 cm
5.
a) Für welche(n) Winkel ist sinx = 1? (Antwort in Bogenmaß und Grad)
b) Für welche(n) Winkel ist sinx = 0? (Antwort in Bogenmaß und Grad)
c) Welche(r) Winkel hat/haben den selben Sinuswert wie der Winkel 80°?
d) Welche(r) Winkel hat/haben betragsmäßig den selben Sinuswert wie der Winkel 350°?
e) Für welche(n) Winkel gilt sin(x) = 0,5?
f) Gib den Winkel π/4 in Gradmaß an. Wie groß ist der Sinus dieses Winkels?
6.
Zeichne komplett ohne die Hilfe dieses PC-Programms den Graphen einer Sinusfunktion!
Lege dazu eine Wertetabelle an. (Sinuswerte mit Taschenrechner berechnen)
Längeneinheiten:
x-Achse: 2cm entspricht π/2
y-Achse: 2cm entspricht 1
7.
Was könnte sin(-π/2) und sin(405°) bedeuten?
Wenn das klar ist, haben wir die Sinusfunktion als Reelle Funktion (alle reellen Zahlen sind als x-Werte zugelassen) zur Verfügung. Das war das Ziel dieses Arbeitsblattes.