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¿Los poliedros pueden tener agujeros?

Author:Javier Cayetano Rodríguez
¿Qué debe cumplir una figura para decir que se trata de un poliedro? Por ejemplo, tomemos un icosaedro, que es el poliedro de 20 caras formadas por triángulos equiláteros. Si hacemos un agujero en cada una de ellas, ¿sigue siendo un poliedro con nuestra definición?
  • ¿El motivo es que los agujeros son circulares?
  • En ese caso, si hacemos agujeros en forma de polígono, ¿se ha resuelto el problema?
  • ¿Se cumple la fórmula de Euler? ¿por qué?
Para visualizar esto, podemos utilizar el siguiente applet. En el menú de la derecha, podemos elegir el tamaño del agujero y el tipo. También, podemos hacer el desarrollo plano de la figura, para ver mejor las caras... quizás ahí, en las caras, es donde se encuentre el problema.

Icosaedro con agujeros

Analizamos otras figuras con ''agujeros''

Podemos contrastar esta figura con el caso de esta otra figura donde observamos agujeros (ver el applet Fórmula de Euler y Poliedros "con agujeros").
  • ¿Qué diferencia hay entre ambos casos?
  • ¿Se cumple en ese caso la fórmula de Euler? ¿Por qué?

Pensamiento computacional

  • GeoGebra tiene un comando que nos permite crear un icosaedro directamente a partir de un triángulo equilátero.
  • Esto simplifica mucho el crear el icosaedro, pues el triángulo equilátero se puede crear con el comando para generar polígonos regulares.
  • Igualmente, tenemos un comando que nos permite hacer el desarrollo de una figura.
Pero... ¿cómo conseguir hacer un agujero a cada una de las caras?
  • Este problema es complejo de resolver con GeoGebra (otras aplicaciones como Tinkercad proporcionan una herramienta para hacer los agujeros, aunque están más limitadas matemáticamente, por ejemplo a la hora de hacer el desarrollo plano).
  • Puedes descargar el applet para investigar cómo se ha resuelto, pero el interior de este applet puede resultar algo complejo de entender si no sabemos cómo se ha planificado.
Entonces, ¿qué podríamos hacer para resolver el problema de los agujeros en las caras? Podemos usar una conocida estrategia de las matemáticas: simplificar el problema yendo a un caso más sencillo. En este caso,
  • una primera simplificación sería: ¿cómo hacer un agujero a solamente un polígono?
  • una segunda simplificación: si un agujero circular parece complicado, ¿y si probamos primero con los de forma triangular, luego hexagonal, eneagonal...
  • ¿Podríamos generalizar este proceso para llegar al círculo? ¿Por qué? ¿Y para al menos "casi" llegar al círculo?
Si conseguimos esto (que ya entraña su dificultad), la solución para el icosadro sería aplicar el mismo proceso a sus 20 caras. Para ello, una opción es intentar hacerlo todo a la vez, utilizando listas.
  • Una primera lista contendría todas las caras del icosaedro.
  • A partir de ahí, haríamos ese proceso de generalización. No es necesario llegar hasta aquí, pero sí tener en mente que sería posible hacerlo.
  • En el applet anterior es el proceso que se ha seguido.
(*) Otra forma de abordar el problema es la que se ha utilizado en el applet "Banda con agujeros", parametrizando directamente cada zona con agujeros. Pero, una vez más, esa parametrización puede resultar complicada.Lo bueno del proceso aplicado aquí es que no exige tantos recursos del ordenador como la parametrización directa y... ¡pista! Además, estamos aprendiendo más sobre aproximaciones y cuadrar conjuntos, lo cual es una rama importante de las matemáticas. Por ejemplo, nos puede dar pie al proceso de la integral de Lebesgue.

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