L'ortocentro
- Autore:
- Gian Lodovico Miari
- Argomento:
- Ortocentro
Teorema Le tre altezze di un triangolo, o i loro prolungamenti, si incontrano in un punto (detto ortocentro)
Ipotesi: triangolo ABC
Tesi: le altezze si incontrano in un punto
Vediamo i passaggi principali della costruzione con Geogebra lasciando i dettagli della dimostrazione per esercizio
- Costruiamo il triangolo
- Tracciamo le altezze: retta per ogni vertice e perpendicolare al lato opposto
- Individuiamo il piede di ciascuna altezza (
e nascondiamo le rette); individuiamo le altezze 
e cambiamo lo stile [tasto destro, proprietà, colore, stile] - Individuiamo il punto di incontro tra due delle tre altezze e verifichiamo che anche la terza altezza passa per tale punto
Per completare la dimostrazione
5. Tracciamo una retta passante per A e parallela al lato opposto 
(il comando lo troviamo nella stessa icona delle rette perpendicolari)
6. Ripetiamo anche per gli altri due vertici
7. Individuiamo i punti di intersezione tra queste tre nuove rette. Otteniamo un nuovo triangolo.
8. Osserviamo che le rette che contengono le altezze (quelle tratteggiate) sono gli assi del nuovo triangolo.
9. Possiamo concludere che poiché gli assi si incontrano in un punto, anche le tre altezze si incontreranno (nello stesso punto)
CVD
Attenzione:
ATTENZIONE: il punto centrale della dimostrazione è il passaggio n. 8:per poter affermare che sono assi
è necessario dimostrare che:
- sono perpendicolari al lato
- passano per il punto medio del lato.
La prima affermazione è verificata per costruzione.
Per la seconda affermazione è necessario osservare che: consideriamo ad esempio il quadrilatero GCBA:
- GC e BA sono paralleli per costruzione
- CB e GA sono paralleli per costruzione
dunque GCBA è un parallelogramma.
Per la proprietà del parallelogramma ha i lati opposti congruenti, in particolare GC=BA
Consideriamo adesso il parallelogramma CHBA. Analogamente a sopra CH=BA. Dunque C è punto medio di GH.
Ripetiamo ora per gli altri lati.
(il comando lo troviamo nella stessa icona delle rette perpendicolari)
6. Ripetiamo anche per gli altri due vertici
7. Individuiamo i punti di intersezione tra queste tre nuove rette. Otteniamo un nuovo triangolo.
8. Osserviamo che le rette che contengono le altezze (quelle tratteggiate) sono gli assi del nuovo triangolo.
9. Possiamo concludere che poiché gli assi si incontrano in un punto, anche le tre altezze si incontreranno (nello stesso punto)
CVD
Attenzione:
ATTENZIONE: il punto centrale della dimostrazione è il passaggio n. 8:per poter affermare che sono assi
è necessario dimostrare che:
- sono perpendicolari al lato
- passano per il punto medio del lato.
La prima affermazione è verificata per costruzione.
Per la seconda affermazione è necessario osservare che: consideriamo ad esempio il quadrilatero GCBA:
- GC e BA sono paralleli per costruzione
- CB e GA sono paralleli per costruzione
dunque GCBA è un parallelogramma.
Per la proprietà del parallelogramma ha i lati opposti congruenti, in particolare GC=BA
Consideriamo adesso il parallelogramma CHBA. Analogamente a sopra CH=BA. Dunque C è punto medio di GH.
Ripetiamo ora per gli altri lati.