Geometria analitica: introduzione concettuale

Topic:Equations, Plane Figures or Shapes

DEFINIZIONI

«Geometria»

studio delle figure «Analitico»

fa uso di strumenti algebrici per risolvere un problema Geometria analitica: studio di figure geometriche mediante tecniche algebriche Si pratica sul piano cartesiano, un piano su cui è introdotta una coppia di rette orientate perpendicolari (assi cartesiani) sulle quali è fissata una unità di misura che permette di riportarvi tutti i numeri reali. Il punto di incontro delle due rette (origine degli assi) corrisponde allo zero su ciascun asse. Gli assi dividono il piano in quattro regioni (quadranti).

PUNTI SUL PIANO CARTESIANO

Corrispondenza biunivoca fra coppie ordinate di numeri reali e punti del piano: coppia ordinata (x, y) punto P

A ogni coppia ordinata di numeri reali corrisponde un punto che ha come coordinate i due numeri. A ogni punto del piano corrisponde una coppia ordinata composta dalle sue coordinate.

RETTE SUL PIANO CARTESIANO

Corrispondenza biunivoca fra equazioni lineari in due incognite e rette nel piano:

equazione lineare ax + by + c = 0 retta r

Le infinite soluzioni dell'equazione lineare sono rappresentate dai punti della retta. Gli infiniti punti della retta rappresentano le soluzioni dell'equazione lineare.

RETTE ORIZZONTALI E VERTICALI E COPPIE DI RETTE

Nell'equazione lineare associata alle rette orizzontali e verticali compare una sola incognita:

equazione lineare y = k retta orizzontale equazione lineare x = k retta verticale

Le soluzioni di una equazione di secondo grado in una sola incognita sono rappresentate da una coppia di rette se ∆ > 0.

GRAFICI DI FUNZIONI

Una funzione ha come espressione analitica una equazione lineare in y della forma

y = f (x)

Il grafico di una funzione sul piano cartesiano ha particolari proprietà deducibili dall'espressione analitica. Tracciare grafici di funzioni è un obiettivo di notevole importanza in molte discipline.

SEZIONI CONICHE

Una equazione quadratica in due incognite è normalmente rappresentata da una sezione conica, ovvero una curva ottenibile sezionando un cono circolare retto:

parabola iperbole ellisse circonferenza

CURVE NEL PIANO CARTESIANO

In generale esiste una corrispondenza fra equazioni in due incognite e curve nel piano cartesiano: equazione in x e y curva piana

Ogni curva sul piano è la rappresentazione grafica di una equazione (che può anche avere forma non elementare). Tuttavia, non a tutte le equazioni corrisponde una curva: le equazioni impossibili, in particolare, non hanno rappresentazione grafica; altre equazioni, invece, sono rappresentate da un insieme finito di punti discreti.

PORZIONI DI PIANO

Esiste una corrispondenza fra disequazioni in due incognite e porzioni di piano (limitate o illimitate): disequazione in x e y regione piana

Una porzione di piano piano può essere pensata come la rappresentazione grafica delle soluzioni di una disequazione. Alle disequazioni impossibili non è associata alcune porzione di piano.

BREVE STORIA

La geometria analitica nasce principalmente dal lavoro di due matematici francesi: René Descartes (Discorso sul metodo, 1637) parte da curve geometriche e cerca le loro equazioni Pierre de Fermat (Sui luoghi piani, 1637) parte da equazioni algebriche e descrive le curve che le rappresentano