Cubo: Elementos, Área e Volume

Definição:

O cubo é um poliedro regular com 6 faces quadradas, todas iguais e perpendiculares.

Faz parte dos sólidos de Platão, que têm:

Faces formadas por polígonos regulares e congruentes.
3 arestas em cada vértice.
Ângulos congruentes.
Obedecem à Relação de Euler: V−A+F=2.

Elementos:

6 faces
12 arestas
8 vértices

É uma figura tridimensional (3D), pois utiliza as coordenadas x,y,z. Exemplos no cotidiano: cubos de gelo, cubos de açúcar, cubo mágico, embalagens cúbicas.

Os elementos que formam esta figura geométrica são os seguintes:

Arestas: possui 12 arestas, essas arestas são segmentos de retas congruentes; Faces: é formado também por 6 faces quadrangulares, cada face do é um polígono regular, mais especificamente um quadrado. Diagonais: é possível traçar até quatro diagonais internamente no cubo. Além disso, as faces também possuem suas diagonais. Vértices: os vértices são formados por pontos onde as arestas se encontram, no total o cubo possui 8 vértices. Ângulos: nos vértices, ângulos retos são formados, no total o cubo possui 24 ângulos retos.

Área

A área de um objeto ou figura geométrica é a medida equivalente a sua superfície. No caso da área do cubo, existem três áreas importantes: a área da base, a da lateral e a total. Área da base: a área da base é equivalente a calcular a área de um quadrado, já que as faces são formadas por quadrados. Logo, a fórmula da área da base é: Ab = a² Onde:

: é a área da base;
: a medida da aresta.

Área lateral: a área lateral equivale a calcular a medida das faces que não são bases (a face de cima e a de baixo, são as bases). Assim, a fórmula para a área lateral é: Al = 4a² Onde:

é a área lateral;
a medida da aresta.

Como a lateral é composta por quatro faces, onde essas faces são quadrados, precisamos apenas calcular a área de um quadrado e multiplicar por 4 Área total: a área total é a medida referente a toda a superfície. Dessa forma, como o cubo tem 6 faces, precisamos calcular a área de uma face e multiplicar o resultado por 6. Então, temos a seguinte fórmula: At = 6a² Onde:

é a área total;
a medida da aresta.

Veja a planificação de um cubo.

Volume

O cubo é um poliedro regular: todas as arestas têm a mesma medida.

Para calcular o volume, não é necessário medir todas as arestas, basta uma única aresta.

Fórmula:

Onde:

volume
medida da aresta
Como é tridimensional, a unidade de medida é o metro cúbico (m³):

Veja um Exemplo abaixo

Diagonais:

O cubo possui dois tipos de diagonais: diagonal da base e a diagonal do cubo.

Diagonal da base: a diagonal da base é a medida equivalente à diagonal de um quadrado. A face é um quadrado como já sabemos. Assim, a diagonal da base do cubo é encontrada utilizando o Teorema de Pitágoras. Então, temos a seguinte fórmula: Diagonal do cubo: é a medida de um segmento de reta traçado de um vértice a outro do cubo, atravessando-o ao centro. Também podemos encontrar a medida dessa diagonal utilizando o Teorema de Pitágoras. Assim, temos a seguinte fórmula para calcular a diagonal interna: Veja o exemplo abaixo:

Observe que AC é a diagonal da base do cubo (também conhecida como diagonal lateral do cubo). Assim, como a base é um quadrado, a diagonal do quadrado AC é:

Portanto, aplicando o teorema de Pitágoras no triângulo AEC:

Logo, se d é a diagonal de um cubo de aresta a,

Exercício Resolvido

Exercícios

Questão 1-(Unesc) A soma das arestas de um cubo é igual a 72 cm, então o volume do cubo é igual a:

Questão 2-(IFPR) Marque a alternativa que apresenta a área total, em cm², de um cubo cuja diagonal mede 9 cm.