Demonstração Indireta

Lembra de uma das primeiras proposições desse livro? Se uma reta r cruza umas reta s que é paralela a s, então r cruza s. Estamos prontos para demonstrá-la; e, para isso, precisaremos invocar o tão famoso quinto Postulado de Euclides, hoje conhecido como Postulado de Playfair: dado uma reta paralela e um ponto que não pertence a essa reta, existe uma única reta que passa por tal ponto e é paralela à reta original.

1)Nossas hipótese são: g e f são paralelas e h ,g são secantes e h,f e g distintas. 2)Como utilizaremos o método indireto, assumiremos a negação da tese como nova premissa. 3)Assim, como nossa tese é que h cruzar g, utilizaremos a informação de que h não cruza g. 4)Por fim, tentaremos encontrar uma contradição. Dem: Suponha, por absurdo, que h não cruze f. Como se tratam de retas distintas e elas não se cruzam, h e f só podem ser paralelas. Por hipótese, g e f são paralelas. Ainda mais: h e g são secantes, logo, existe um ponto de intersecção entre h e g, denote esse ponto por P. Pelo postulado de Playfair, a reta paralela a f que passa por P é única, mas temos que h e g passam por P, ambas paralelas à f com h diferente de g. Contradição. Logo, h cruza f.